\( \dfrac { \mant {x+y} ^ 2 } { \ant {x+y} } \leqslant \dfrac {\mant x ^2} {\ant x} + \dfrac {\mant y ^2} {\ant y} \)

Непростое неравенство опубликовано в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

102. Докажите, что \[
\dfrac { \mant {x+y} ^ 2 } { \ant {x+y} }
\leqslant
\dfrac {\mant x ^2} {\ant x} + \dfrac {\mant y ^2} {\ant y}
\quad \mbox {при }
x, \, y \in \mathbb R_{\geqslant 1} .
\tag {102.1}
\]

\( a^2 \ant a = \dfrac {25} 2 \), \( b \ant b = 10\), \( b - a = ? \)

Следующую разминочную задачу можно предложить для решения в уме.

101. Пусть \( a^2 \ant a = \dfrac {25} 2 \), \( b \ant b = 10\). Вычислите \( b - a \).

\( \ant {2x - 1} - \ant {3 - x} = 2 \)

Следующее уравнение, вполне заурядное для любителей задач с антье, решается наиболее коротким способом благодаря нехитрому трюку.

100. Решите уравнение \(
\ant {2x - 1} - \ant {3 - x} = 2
\).

\( f ( \ant x y ) = f(x) \ant { f(y) } \)

(*) Функциональные уравнения с антье встречаются лишь изредка. Следующее задание взято из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

99. Определите все функции \(
f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R
\) такие, что для любых \( x, \, y \in \mathbb R \) выполняется равенство \[
f ( \ant x y ) = f(x) \ant { f(y) }
\tag {99.1}
\]

\( - \dfrac {n - 1} n \leqslant \mant { nx } - \mant x < \dfrac {n - 1} n \)

Предлагаю доказать неравенство, опубликованное в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com). Отмечу, что правое неравенство удалось сделать строгим по сравнению с опубликованным в группе.

98. Докажите, что \[
- \dfrac {n - 1} n \leqslant \mant { nx } - \mant x < \dfrac {n - 1} n
\quad \mbox {при }
x \in \mathbb R
\mbox { и }
n \in \mathbb N_{\geqslant 2} .
\tag {98.1}
\]

\( \ant { {{{\sqrt 2} ^ {\sqrt 2}} ^ {...}} ^ {\sqrt 2} } \)

(*) Недавно в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) была опубликована интересная задача.

97. Вычислите \[
\ant { {{{\sqrt 2} ^ {\sqrt 2}} ^ {...}} ^ {\sqrt 2} } .
\tag {97.1}
\] Число \( \sqrt 2 \) присутствует в формуле \( n \geqslant 1 \) раз.

\( \ant { \dfrac 12 + \sqrt n } = \ant { \dfrac 12 + \sqrt { n - a } } \), где \( 0 \leqslant a \leqslant \dfrac 34 \)

В следующем равенстве спряталось известное (для любителей а. и м.) равенство.

96. Докажите, что при любых натуральных \( n \) \[
\ant { \dfrac 12 + \sqrt n } =
\ant { \dfrac 12 + \sqrt { n - a } } ,
\quad \mbox {где } 0 \leqslant a \leqslant \dfrac 34 .
\tag {96.1}
\]

\( \ant { m \sqrt {10} } = \ant { n \sqrt {10} } + 2m + 4n \)

В последнее время все новые задачи на а. и м. я нахожу в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com). Решим очередную задачу.

95. Решите уравнение \[
\bigant { m \sqrt {10} } = \bigant { n \sqrt {10} } + 2m + 4n ,
\quad \mbox {где }
m, \, n \in \mathbb N .
\tag {95.1}
\]

Количество заданного дня недели в месяце

Мне встретилась следующая олимпиадная задача для 7-го класса: «В январе 4 понедельника и 4 пятницы. Какой день недели выпал на 1-ое января?»
Ко мне пришла идея несколько другого задания. Не уверен, что мое задание для 7-го класса ...

94. Выведите формулу, которая вычисляет количество заданного дня недели в месяце, если известно с какого дня недели начинается месяц.

\( \bigant { A (K + 1) }\equiv 1 \pmod {K + 1} \)

В группе The Mathematical Olympiads социальной сети LinkedIn встретилась следующая задача. К сожалению, ни автор, ни источник публикации задачи не указаны.

93. Пусть \( K = \ant { \dfrac 1 { \mant A } } \), где \( A \) — положительное действительное нецелое число. Докажите, что \[
\bigant { A (K + 1) }\equiv 1 \pmod {K + 1} .
\tag {93.1}
\]

\( \ant { - \dfrac 1x } = - \dfrac 1 { \ant x } \)

В продолжение предыдущего поста предложу уравнение того же вида \(
\ant { f(x) } = f( \ant x )\), где \( f(x) = -\dfrac 1x \).

92. Решите уравнение \[
\ant { - \dfrac 1x } = - \dfrac 1 { \ant x } .
\tag {92.1}
\]

\( \ant { \dfrac 1x } = \dfrac 1 { \ant x } \)

В задачнике «А. и м.» имеется небольшой раздел (см. п. 12.5), по­свя­щен­ный уравнениям вида \( \ant {f(x)} = f( \ant x ) \). Рассмотрим одно из уравнений данного вида.

91. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac 1x } = \dfrac 1 { \ant x }
\tag {91.1}
\]