«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

24 марта 2016 г.

\( 2^{ \ant { f(x) } } = 3^{ \ant { g(x) } } \)

В группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) встретилась следующая задача.
89. Решите уравнение \(
2^{ \ant { x^2 - 1 } } = 3^{ \ant { 1/x } }
\).
Ответ: \( 1 < x < \sqrt2 \).

Мне же хотелось бы обратить внимание на более общее уравнение \[
2^{ \ant { f(x) } } = 3^{ \ant { g(x) } } .
\tag {\( \ast \)}
\] Несложно обосновать, что это уравнение равносильно: \[
\ant { f(x) } = \ant { g(x) } = 0 ,
\text { или}
\] \[
\begin {cases}
0 \leqslant f(x) < 1,
\\[4pt]
0 \leqslant g(x) < 1.
\end {cases}
\] По-моему, уравнение \(
2^n = 3^m
\) относительно двух целых неизвестных может быть предложено семиклассникам (понятно, что не всем, а тем, для которых математика — профильный предмет). Для решения уравнения (\(
\ast
\)) не требуется знакомство с показательной функцией, значит, при вменяемых функциях \( f(x) \) и \( g(x) \) уравнение (\(
\ast
\)) уместно даже в 7-ом классе.


Автор: И.Л. на 02:58
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.