\( 2^{ \ant { f(x) } } = 3^{ \ant { g(x) } } \)

В группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) встретилась следующая задача.

89. Решите уравнение \(
2^{ \ant { x^2 - 1 } } = 3^{ \ant { 1/x } }
\).

Ответ: \( 1 < x < \sqrt2 \).

Мне же хотелось бы обратить внимание на более общее уравнение \[
2^{ \ant { f(x) } } = 3^{ \ant { g(x) } } .
\tag {\( \ast \)}
\] Несложно обосновать, что это уравнение равносильно: \[
\ant { f(x) } = \ant { g(x) } = 0 ,
\text { или}
\] \[
\begin {cases}
0 \leqslant f(x) < 1,
\\[4pt]
0 \leqslant g(x) < 1.
\end {cases}
\] По-моему, уравнение \(
2^n = 3^m
\) относительно двух целых неизвестных может быть предложено семиклассникам (понятно, что не всем, а тем, для которых математика — профильный предмет). Для решения уравнения (\(
\ast
\)) не требуется знакомство с показательной функцией, значит, при вменяемых функциях \( f(x) \) и \( g(x) \) уравнение (\(
\ast
\)) уместно даже в 7-ом классе.