\( \begin {cases} | x | \leqslant \mant y \leqslant \ant z , \\[4pt] x + z = 0. \end {cases} \)

Вчера в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) была приведена несложная задача с интересной формулировкой.

90. Определите действительные значения \( x \), \( y \) и \( z \), при совместна система \[
\begin {cases}
| x | \leqslant \mant y \leqslant \ant z ,
\\[4pt]
x + z = 0.
\end {cases}
\tag {90.1}
\]

\( 2^{ \ant { f(x) } } = 3^{ \ant { g(x) } } \)

В группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) встретилась следующая задача.

89. Решите уравнение \(
2^{ \ant { x^2 - 1 } } = 3^{ \ant { 1/x } }
\).

Ответ: \( 1 < x < \sqrt2 \).

Мне же хотелось бы обратить внимание на более общее уравнение \[
2^{ \ant { f(x) } } = 3^{ \ant { g(x) } } .
\tag {\( \ast \)}
\] Несложно обосновать, что это уравнение равносильно: \[
\ant { f(x) } = \ant { g(x) } = 0 ,
\text { или}
\] \[
\begin {cases}
0 \leqslant f(x) < 1,
\\[4pt]
0 \leqslant g(x) < 1.
\end {cases}
\] По-моему, уравнение \(
2^n = 3^m
\) относительно двух целых неизвестных может быть предложено семиклассникам (понятно, что не всем, а тем, для которых математика — профильный предмет). Для решения уравнения (\(
\ast
\)) не требуется знакомство с показательной функцией, значит, при вменяемых функциях \( f(x) \) и \( g(x) \) уравнение (\(
\ast
\)) уместно даже в 7-ом классе.

\( \ant{ u_n } = 2^{ \frac {2^n - (-1)^n} 3 } \)

Очередная задача блога была предложена на Международной ма­те­ма­ти­чес­кой олимпиаде в 1976 году.

88. (IMO/1976 6/6) Числовая последовательность \( \{ u_n \} \) задана следующим образом: \[
\begin{array}{l}
u_0 = 2 ,
\\[4pt]
u_1 = \dfrac 52,
\\[4pt]
u_{n+1} = u_n (u_{n-1}^2 - 2) - u_1 , \quad \mbox {где } n = 1, \, 2, \, \ldots
\end{array}
\] Докажите, что \[
\ant{ u_n } = 2^{ \frac {2^n - (-1)^n} 3 } .
\tag{88.1}
\]

Удивительнейшее тождество с антье

Данное тождество было предложено в 2012 году на олимпиаде ELMO.

87. (Calvin Deng) Докажите, что если \( a \) и \( b \) — натуральные числа, и \( a b > 1 \), то \[
\ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab} } =
\ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab-1} } .
\tag {87.1}
\]

«... Для Атоса — это слишком много, для графа де Ла Фер — слишком мало»

Почти два с половиной месяца блог не пополнялся новыми задачами. Мне жаль, очень жаль, что времени на оформление решений задач по теме «а. и м.» не остается (меня в очередной раз затянула разработка, а также изучение новых технологий).

Пытаясь найти нечто среднее между «слишком много» и «слишком мало», предполагаю размещать в блоге пока только новые задачи без решений. Надеюсь, когда-нибудь дойдут руки и до решений.