\( x \mant x = \ant x \)

В журнале CRUX Mathematicorum vol. 37 опубликована задача M475 (Edward T.H. Wang, Wilfrid Laurier University, Waterloo, ON). Такую задачу я отнес бы к разминочным задачам, однако в ней есть пара поучительных приемов.

75. Докажите, что уравнение \(
x \mant x = \ant x \) имеет бесконечное количество иррациональных решений.

В предыдущих номерах журнала была размещена задача M437 (Samuel Gomez Moreno, Universidad de Jaen, Jaen, Spain) на такое же уравнение, но с другим заданием.

76. Найдите все рациональные решения уравнения \(
x \mant x = \ant x .
\)

Доказательство (75). В задачах на антье и мантиссу зачастую используется типовой прием — замены: \[
\begin {cases}
\ant x = n,
\\[2pt]
\mant x = \alpha,
\\
x = n + \alpha,
\end {cases}
\quad
\mbox { где }
n \in \mathbb Z,
\ 0 \leqslant \alpha < 1 .
\tag {75.1}
\] В исходном уравнении такие замены, как говорится, сами напрашиваются.
После замен получим квадратное уравнение относительно \( \alpha \) \[
\alpha ^2 + n \alpha - n = 0 ,
\tag {75.2}
\] решением которого при ограничениях (75.1) на \( \alpha \) будет \[
\alpha = \dfrac {-n + \sqrt {n(n + 4)}} 2 .
\tag {75.3}
\] Известно, что среди натуральных чисел имеется бесконечное количество простых, а поскольку \( n(n + 4) \) не является полным квадратом при \(
n \in \mathbb P \), то \( \alpha \) будет иррациональным числом, когда \( n \) — простое число.
Понятно, что сумма двух чисел, одно из которых натуральное (на важно, что оно еще и простое), а другое иррациональное, всегда является иррациональным числом.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)

Решение (76). Воспользуемся рассуждениями и обозначениями, которые приведены в предыдущем доказательстве.
Очевидно, что только при \( n = 0 \) произведение \( n(n + 4) \) является полным квадратом, то есть (75.3), решение уравнения (75.2), — рациональное число, \( \alpha = 0 . \)

Ответ: \( x = 0 . \)