\( \dfrac { \ant x} x = \dfrac {2015} {2016} \)

The Harvard-MIT Mathematics Tournament проводится два раза в год отдельно по алгебре, геометрии, комбинаторике. Следующая задача предлагалась в ноябре 2015 года в командном соревновании, в котором требовалось решить 10 заданий, общее количество баллов за все решенные задачи — 50. Данная задача оценена в 3 балла, т.е. задача для раскачки.

84. Найдите \( \mant x \), где \( x \) является наибольшим решением уравнения \[
\dfrac { \ant x} x = \dfrac {2015} {2016} .
\tag {84.1}
\]

Решение. После типовой замены
\[
\ant x = n ,
\ \mant x = \alpha ,
\ \mbox { где }
n \in \mathbb Z ,
\ 0 \leqslant \alpha < 1 ,
\tag {84.2}
\] получим \[
\dfrac n {n+\alpha} = \dfrac {2015} {2016} ,
\] \[
\mbox {или }
\ n = 2015 \alpha .
\] Значение \( n \) не может быть больше \( 2014 \), поскольку \( \alpha  \) становится больше или равно \( 1 \), см. условия (84.2). Поэтому проверим \( n = 2014 \), при котором \( \alpha = \dfrac {2014} {2015} \).

Ответ: \( \mant x = \dfrac {2014} {2015} \).