\( \left( \frac {\mant x ^2}y +\frac {\ant x ^2}z \right) + \left( \frac {\mant y ^2}z +\frac {\ant y ^2}x \right) + \left( \frac {\mant z ^2}x +\frac {\ant z ^2}y \right) > \frac {x^2+y^2+z^2} {x+y+z} \)

Применение известных неравенств — необходимый навык для решения олимпиадных задач. Посм. на следующий пример (авторы J. L. Diaz-Barrero, J. Rubio-Massegu).

83. (CRUX Mathematicorum/3515) Докажите, что для любых \(
x, \, y, \, z \in \mathbb R_{>0} \) выполняется неравенство \[
\begin {multline*}
\left(
\frac {\mant x ^2}y +\frac {\ant x ^2}z
\right) +
\left(
\frac {\mant y ^2}z +\frac {\ant y ^2}x
\right) +
\\
+ \left(
\frac {\mant z ^2}x +\frac {\ant z ^2}y
\right) >
\frac {x^2+y^2+z^2} {x+y+z} .
\qquad
\tag {83.1}
\end {multline*}
\]

Доказательство. Частный случай неравенства Коши-Буняковского гласит, что для любых действительных чисел \( a_1, \, a_2, \, a_3 \) и \( b_1, \, b_2, \, b_3 \) \[
\left( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \right)
\left( b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \right)
\geqslant
\left( a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
\right)^2 .
\tag {83.2}
\] Применение (83.2) не лишено изящества \[
\bigl( y+z \bigr)
\left(
\frac {\mant x ^2}y +\frac {\ant x ^2}z
\right)
\geqslant
\bigl(
\mant x + \ant x
\bigr)^2 = x^2 ,
\] или \[
\frac {\mant x ^2}y +\frac {\ant x ^2}z
\geqslant
\dfrac { x^2 } {y+z} >
\dfrac { x^2 } {x+y+z} .
\tag {83.3}
\] Вторая и третья суммы в скобках, стоящие в левой части (83.1), подвергаются аналогичным преобразованиям с помощью неравенства Коши-Буняковского. В результате получаем искомое неравенство.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)