\( \ant {x^2 - 2mx} + 2m \ant x = \ant x ^2 \)

В журнале CRUX Mathematicorum vol. 41 № 1 (январь 2015) опубликована задача CC155. Ниже приводится решение, использующее результаты ана­ли­за уравнений вида \(
\ant { f(x) } = f ( \ant x )
\), размещенные в задачнике «А. и м.».

74. Найдите все действительные решения уравнения \[
\ant {x^2 - 2mx} + 2m \ant x = \ant x ^2 ,
\ \mbox { где } m \in \mathbb Z .
\tag {74.1}
\]

Решение. Поскольку \( m \) — целое число, то уравнение сводится к виду \[
\ant { (x - m )^2 } = ( \ant x - m )^2 .
\tag {74.2}
\] Заметим, что уравнение (74.2), как и исходное уравнение, относится к классу уравнений \(
\ant { f(x) } = f ( \ant x )
\), подход к решению которых рас­смат­ри­ва­ет­ся в «А. и м.», см. пп. 12.5 и 18.3.
Несложно видеть, в уравнении (74.2) \(
f (x) = (x-m)^2 .
\)

А зачем понадобилось переходить от уравнения (74.1) к уравнению (74.2)? Ведь исходное уравнение также относится к упомянутому классу уравнений.
Дело в том, что в «А. и м.» опубликована задача 258 с заданием решить уравнение \[
\ant { x^2 } = \ant x^2 .
\tag {74.3}
\] Воспользуемся решением уравнения из задачи 258 и затем «сдвинем» это решение на \( m \) вправо по числовой оси (если \( m < 0 \), то «сдвиг» получится влево).
Напомним, что решением уравнения (74.3) является множество значений \[
x \in
\mathbb Z_{< 0}
\bigcup
\Bigl[ 0, \ 1 + \sqrt2 \Bigr)
\bigcup_{n=2}^{+\infty} \Bigl[ n, \ \sqrt {n^2+1} \Bigr) .
\] Допустима и другая запись данного решения \[
x \in
\mathbb Z
\bigcup_{n=0}^{+\infty} \Bigl( n, \ \sqrt {n^2+1} \Bigr) .
\]
Ответ: \(
\displaystyle
\ \mathbb Z_{< m}
\bigcup
\Bigl[ m, \ m + 1 + \sqrt2 \Bigr)
\bigcup_{n=2}^{+\infty} \Bigl[ m+n, \ m+\sqrt {n^2+1} \Bigr)
\)
или \(
\displaystyle
\ \mathbb Z
\bigcup_{n=0}^{+\infty} \Bigl( m+n, \ m+\sqrt {n^2+1} \Bigr) .
\)