«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

15 декабря 2015 г.

Уравнение-разочарование

Задачи бывают разные: сложные и легкие, на понимание и на умение при­ме­нить конкретные математические факты, c накрученным условием и с простейшей формулировкой. Но иногда встречаются задачи, решение ко­то­рых приносит одно лишь разочарование. Конечно, «о вкусах не спорят» ...
79. (CRUX Mathematicorum/M493) Найдите все натуральные решения уравнения \[
\dfrac {x + \bigant {\sqrt x + \sqrt {x+1}}}
{\bigant {\sqrt{4x+1}+4022}} +
\dfrac x {\bigant {\sqrt{4x+2}}+4022} =
1 .
\tag {79.1}
\]
Решение. Известно, что при \( x \in \mathbb N \) \[
\bigant {\sqrt x + \sqrt {x+1}} =
\bigant {\sqrt{4x+1}} =
\bigant {\sqrt{4x+2}} =
\bigant {\sqrt{4x+3}}
\tag {79.2}
\] (см. «А. и м.» раздел 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем», задача 342).
Чтобы поддержать хоть какой-нибудь интерес к задаче, давайте проведем дальнейшие вычисления в уме.

Ответ: \( x = 2011 . \)

Примечание. Объяснюсь по поводу своего разочарования.
1) Тождество \[
\bigant {\sqrt n + \sqrt {n+1}} =
\bigant {\sqrt{4n+2}} ,
\ \mbox { где }
n \in \mathbb N ,
\] является известнейшим тождеством, оно предлагалось на олимпиаде The William Lowell Putnam Mathematical Competition в 1948 году.
2) Тождество (79.2) предлагалось на Канадской национальной олимпиаде в 1987 году.
Если вы целенаправленно решали задачи на антье и мантиссу, то обязательно имели дело с этими заметными тождествами. А если вам не повезло заниматься этой интереснейшей темой, то насколько реально догадаться до (79.2)?


Автор: И.Л. на 23:04
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.