Уравнение-разочарование

Задачи бывают разные: сложные и легкие, на понимание и на умение при­ме­нить конкретные математические факты, c накрученным условием и с простейшей формулировкой. Но иногда встречаются задачи, решение ко­то­рых приносит одно лишь разочарование. Конечно, «о вкусах не спорят» ...

79. (CRUX Mathematicorum/M493) Найдите все натуральные решения уравнения \[
\dfrac {x + \bigant {\sqrt x + \sqrt {x+1}}}
{\bigant {\sqrt{4x+1}+4022}} +
\dfrac x {\bigant {\sqrt{4x+2}}+4022} =
1 .
\tag {79.1}
\]

Решение. Известно, что при \( x \in \mathbb N \) \[
\bigant {\sqrt x + \sqrt {x+1}} =
\bigant {\sqrt{4x+1}} =
\bigant {\sqrt{4x+2}} =
\bigant {\sqrt{4x+3}}
\tag {79.2}
\] (см. «А. и м.» раздел 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем», задача 342).
Чтобы поддержать хоть какой-нибудь интерес к задаче, давайте проведем дальнейшие вычисления в уме.

Ответ: \( x = 2011 . \)

Примечание. Объяснюсь по поводу своего разочарования.
1) Тождество \[
\bigant {\sqrt n + \sqrt {n+1}} =
\bigant {\sqrt{4n+2}} ,
\ \mbox { где }
n \in \mathbb N ,
\] является известнейшим тождеством, оно предлагалось на олимпиаде The William Lowell Putnam Mathematical Competition в 1948 году.
2) Тождество (79.2) предлагалось на Канадской национальной олимпиаде в 1987 году.
Если вы целенаправленно решали задачи на антье и мантиссу, то обязательно имели дело с этими заметными тождествами. А если вам не повезло заниматься этой интереснейшей темой, то насколько реально догадаться до (79.2)?