\( \begin {cases} x |x| + y |y| = 1, \\[2pt] \ant x + \ant y = 1 . \end {cases} \)

В предисловии задачника «А. и м.» отмечено, что задачи на антье и ман­тис­су зачастую напичканы рассуждениями. Посмотрите на аналитическое решение следующей системы уравнений.

81. (Испания/1993, первый этап) Найдите все действительные \(
x \) и \( y \), удовлетворяющие системе уравнений \[
\begin {cases}
x |x| + y |y| = 1,
\\[2pt]
\ant x + \ant y = 1 .
\end {cases}
\tag {81.1}
\]

Решение. Система симметричная, то есть если в системе поменять местами \( x \) и \( y \), то получим такую же систему. Значит, если \(
(a, \, b) \) — решение (81.1), то и \( (b, \, a) \) также является решением, конечно, если \( a \not= b \).
1) При \( x = y \) система не имеет решений (уравнение с антье не имеет смысла).
Пусть далее \( y < x \).
2) При \( 0 < y < x \) из уравнения с модулями следует, что \( x \) и \( y \) меньше \( 1 \). Значит, решений нет (получается, что сумма антье равна \( 0 \)).
3) Если \( y = 0 \), то \( x = 1 \). В ответ пишем два решения: \(
(1, \, 0) \) и \( (0, \, 1) \).
4) Если \( y < x \leqslant 0 \), то сумма их антье отрицательная, то есть решений нет.
5) Рассмотрим последний случай \( y < 0 < x \).
При данном условии уравнение с модулями примет вид \[
x^2 - y^2 = 1,
\ \mbox { или }
\ (x - y) (x + y) = 1.
\tag {81.2}
\] Из уравнения с антье следует, что \(
x + y \geqslant 1 .
\)
Тогда должно выполняться двойное неравенство \[
0 < x - y \leqslant 1 .
\tag {81.3}
\] Однако \( \ant x \geqslant 2 \) (ведь \( \ant y \leqslant -1 \)), \(
x \geqslant 2 \). Неравенство (81.3) не может выполняться.
В последнем случае решений нет.

Ответ: \( (1, \, 0) \) и \( (0, \, 1) \).