\( \ant { \dfrac n2} + \ant { \dfrac n3} + \ant { \dfrac n5} = n \)

Следующее уравнение можно отнести к заурядным, поскольку стандартная в таких случаях замена \(
n = 30q + r
\), где \( q \in \mathbb Z \), \( r = 0, \, 1, \, \ldots, \, 29 \), помогает избавиться от антье и получить линейные уравнения.

82. (Канада/1998) Найдите количество действительных решений уравнения \[
\ant { \dfrac n2} + \ant { \dfrac n3} + \ant { \dfrac n5} = n .
\tag {82.1}
\]

Можно было бы и не публиковать данную задачу. Однако ...
Насколько дней назад было размещено сообщение, при решении которого встречается уравнение \[
\ant { \dfrac {n \vphantom 1}2} + \ant { \dfrac {2n}3} = n .
\] Попытайтесь догадаться, что общего у этих двух уравнений. Разумеется, речь идет не только об очевидном факте — \( n \) в правой части.
Оказывается, что оба уравнения имеют общий вид \[
\ant { \dfrac {a_1 n}{b_1}} +
\ant { \dfrac {a_2 n}{b_2}} + \ldots +
\ant { \dfrac {a_k n}{b_k}} = n
\tag {82.2}
\] \[
\mbox {при условии }
\dfrac {a_1}{b_1} +
\dfrac {a_2}{b_2} + \ldots +
\dfrac {a_k}{b_k} =
\dfrac {L+1}L ,
\tag {82.3}
\] где \( a_i, \, b_i \in \mathbb N \ \ (i = 1, \, 2, \, \ldots, \, k) \).
Если дроби \(
\dfrac {a_i} {b_i}\) не сократимы, то тогда \(
L =
\mbox { НОК} \,
( b_1, \, b_2, \, \ldots, \, b_k ) .
\)
Утверждение. Уравнение (82.2) при условии (82.3) имеет \( L \) решений, причем все решения неотрицательные (целочисленность решений очевидна).
Доказательство. Воспользуемся упомянутой «заурядной» заменой \[
n = L q + r ,
\ \mbox { где } q \in \mathbb Z ,
\ r = 0, \, 1, \, \ldots, \, L-1 .
\] Поскольку все дроби \(
\dfrac {a_i L q} {b_i}
\) являются целыми числами, то они выносятся из-под знаков антье. После применения условия (82.3) получим \[
q +
\ant { \dfrac {a_1 r}{b_1}} +
\ant { \dfrac {a_2 r}{b_2}} + \ldots +
\ant { \dfrac {a_k r}{b_k}} = r .
\] Переменная \( r \) «пробегает» \( L \) различных значений, каждому из которых соответствует одно значение \( q \), поэтому количество решений равно \( L \).
Теперь покажем неотрицательность этих решений.
В уравнении (82.2) перейдем от антье к мантиссам и снова применим условие (82.3) \[
\dfrac nL -
\mant { \dfrac {a_1 n}{b_1}} -
\mant { \dfrac {a_2 n}{b_2}} - \ldots -
\mant { \dfrac {a_k n}{b_k}} = 0 .
\tag {82.4}
\] Из уравнения (82.4), равносильного (82.2), следует \(
n \geqslant 0 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
Ответ (82): \( 30 \) решений.

Примечание. Утверждение о количестве решений уравнения (82.2) верно и в случае, когда в левой части (82.2), одно слагаемое, \[
\ant { \dfrac { n (m+1)}m} = n ,
\ \mbox { где } m \in \mathbb N .
\]