\( \ant { \dfrac {n \vphantom 1}2 } + \ant { \dfrac {2n} 3 } = n + 335 \)

При решении уравнения, которое приводится в данном сообщении, можно пуститься во все тяжкие, рассматривая 6 вариантов \( n = 6k + m \), когда \(
m = 0, \, 1, \, \ldots , \, 5
\). Скушное занятие.
А можно воспользоваться типовым приемом внесения целого числа под знак антье. Правда, прием в данном случае больше напоминает трюк.

80. (Испания/2010, первый этап) Найдите все натуральные решения уравнения \[
\ant { \dfrac {n \vphantom 1}2 } + \ant { \dfrac {2n} 3 } = n + 335 .
\tag {80.1}
\]

Решение. Сначала «упростим» уравнение \[
\ant { \dfrac {2n} 3 } = \ant { \dfrac {n+1}2 } + 335 ,
\tag {80.2}
\] поскольку \(
\ant { \dfrac {n \vphantom 1}2 } + \ant { \dfrac {n + 1}2 } = n
\) — частный случай тождества Эрмита, см. раздел свойства (С32).
Затем внесем под знаки антье целые числа: \[
\ant { \dfrac {2n} 3 } - 4 \cdot 335 = \ant { \dfrac {n+1}2 } - 3 \cdot 335 ,
\] \[
\ant { \dfrac {2 (n - 6 \cdot 335)} 3 } =
\ant { \dfrac {n+1 - 6 \cdot 335}2 } ,
\] \[
\ant { \dfrac {2 m} 3 } =
\ant { \dfrac {m+1}2 } ,
\tag {80.3}
\] где \( m = n - 6 \cdot 335 = n - 2010 \), или \( n = m + 2010 \).
Следствием равенства двух антье (80.3) является неравенство \[
\left|
\dfrac {2 m} 3 - \dfrac {m+1}2
\right| < 1
\tag {80.4}
\] (модуль разности выражений, стоящих под антье, всегда меньше \( 1 \)). Целыми решениями (80.4) являются значения: \(
m = -2, \, -1, \, \ldots , \, 8
\), среди которых могут быть посторонние решения. Подстановкой в (80.3) убеждаемся, что \(
m \in \bigl\{
0, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 7
\bigr\} .
\)

Ответ: \(
n = 2010, \, 2012, \, 2013, \, 2014, \, 2015, \, 2017 .
\)

Примечание. По-моему, желание избежать скушного перебора из шести вариантов привело к более сложному решению. Пусть тогда это решение станет демонстрацией упрямства.