\( 0 < \Bigmant { \sqrt [\scriptstyle 4 \,] n} < \dfrac 1 {2015} \)

Предлагаю еще одно задание с The Harvard-MIT Mathematics Tournament (ноябрь 2015 года).

85. Определите наименьшее натуральное \( n \), для которого выполняется условие
\[
0 < \Bigmant { \sqrt [\scriptstyle 4 \,] n} < \dfrac 1 {2015} .
\tag {85.1}
\]

Решение. Искомое значение \( n \) имеет вид \( n = k^4 + 1 \), где \( k \in \mathbb N \) (обоснование данного утверждения выполните самостоятельно). Тогда
\[
\mant { \sqrt [\scriptstyle 4 \,] {k^4 + 1}} =
\sqrt [\scriptstyle 4 \,] {k^4 + 1} - k .
\tag {85.2}
\] То есть задача свелась к определению наименьшего \( k \in \mathbb N \), для которого выполняется неравенство
\[
\sqrt [\scriptstyle 4 \,] {k^4 + 1} - k < \dfrac 1 {2015} .
\tag {85.3}
\] Поскольку \[
\sqrt [\scriptstyle 4 \,] {k^4 + 1} - k =
\dfrac 1 {
    \left(
    \sqrt [\scriptstyle 4 \,] {k^4 + 1} + k
    \right)
    \left(
    \sqrt {k^4 + 1} + k^2
    \right)
} >
\] \[
> \dfrac 1 {
    k^3
    \left(
    \sqrt {1 + \frac 1 {k^4}} + 1
    \right) ^ 2
} >
\dfrac 1 {
    k^3
    \left(
    4 + \frac 2 {k^2}
    \right)
} ,
\] то \[
\dfrac 1 {4 k^3 +  2 k } < \dfrac 1 {2015}
\mbox {, значит, }
k \geqslant 8 .
\] Однако еще рано утверждать \( \min (k) = 8 \), ведь преобразования ослабили неравенство (85.3), то есть нам известно лишь то, что решения (85.3) не меньше \( 8 \).
Покажем, что при \( k = 8 \) выполняется (85.3).
\[
\sqrt [\scriptstyle 4 \,] {k^4 + 1} - k =
k \left(
\sqrt [\scriptstyle 4 \,] {1 + \tfrac 1 {k^4}} - 1
\right) < \ldots
\] Воспользуемся неравенством Бернулли:

при \(
x \in \mathbb R \), \( x > -1 \), \( x \neq 0 \), \( \alpha \in (0, \ 1) \)
\[
(1+x)^\alpha < 1+ \alpha x .
\]

\[ \ldots < k \left(
1 + \dfrac 1 4 \cdot \dfrac 1{k^4} - 1
\right) <
\underbrace {
\dfrac 1 {4 \cdot k^3} <
\dfrac 1 {2015}
}_{
\mbox {верно при } \displaystyle k = 8} .
\]
Ответ: \( n = 8^4 + 1 = 4097 \).

Примечание. Отметим, что если сначала применить неравенство Бернулли то приходим к выводу — при \( k = 8 \) выполняется (85.3), но нельзя утверждать, что данное значение \( k \) является минимальным.