«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

29 ноября 2015 г.

\( \displaystyle S_1 = \sum_{-2n}^{2n+1} \dfrac { (k-1)^2 } {a^{\left| \ant { k/2 } \right|}} , \quad S_2 = \sum_{-2n}^{2n+1} \dfrac { k^2 } {a^{\left| \ant { k/2 } \right|}} \)

В 2007 году на региональном этапе Австрийской МО была и вторая задача на антье.
73. Пусть \( a \in \mathbb R_{> 0} \) и \(
n \in \mathbb Z_{\geqslant 0}
\). Сравните две суммы \[
S_1 =
\sum_{k=-2n}^{2n+1}
\dfrac { (k-1)^2 } {a^{\left| \ant { k/2 } \right|}}
\quad \mbox {и} \quad
S_2 =
\sum_{k=-2n}^{2n+1}
\dfrac { k^2 } {a^{\left| \ant { k/2 } \right|}} .
\]
Решение. Давно подмечено, чем страшнее формулы в олимпиадной задаче, тем легче она решается. Есть за что зацепиться.
Скорее всего, все или почти слагаемые, входящие в суммы \(
S_1 \) и \( S_2 \) совпадают. Попробуем преобразовать слагаемые с отрицательными индексами \( n \). \[
S_1 =
\sum_{k=-2n}^{-1}
\dfrac { (k-1)^2 } {a^{\left| \ant { k/2 } \right|}} +
\sum_{k=0}^{2n+1}
\dfrac { (k-1)^2 } {a^{\ant { k/2 }}} =
\] \[
=
\sum_{k=1}^{2n}
\dfrac { (-k-1)^2 } {a^{\left| \ant { -k/2 } \right|}} +
\sum_{k=0}^{2n+1}
\dfrac { (k-1)^2 } {a^{\ant { k/2 }}} =
\] Воспользуемся тождеством \(
\Bigl| \bigant { - \frac n2 } \Bigr| =
\Bigl| \bigant { \frac {n+1}2 } \Bigr|
\), см. задачу 72. \[
=
\sum_{k=1}^{2n}
\dfrac { (k+1)^2 } {a^{\ant { (k+1)/2 }}} +
\sum_{k=0}^{2n+1}
\dfrac { (k-1)^2 } {a^{\ant { k/2 }}} =
\] \[
=
\sum_{k=2}^{2n+1}
\dfrac { k^2 } {a^{\ant { k/2 }}} +
\sum_{k=0}^{2n+1}
\dfrac { (k-1)^2 } {a^{\ant { k/2 }}} .
\] Аналогично выводится \[
S_2 =
\sum_{k=2}^{2n+1}
\dfrac { (k-1)^2 } {a^{\ant { k/2 }}} +
\sum_{k=0}^{2n+1}
\dfrac { k^2 } {a^{\ant { k/2 }}}  .
\] В сумме \( S_1 \) имеется пара «лишних» (в сравнении с \( S_2 \)) слагаемых вида \(
\dfrac { (k-1)^2 } {a^{\ant { k/2 }}}
\) при \( k = 0 \) и \( 1 \), их суммирование дает \( 1 \). Такая же ситуация с \( S_2 \), два «лишних» (в сравнении с \( S_1 \)) слагаемых вида \(
\dfrac { k^2 } {a^{\ant { k/2 }}}
\) при \( k = 0 \) и \( 1 \) дают при суммировании \( 1 \). Поскольку «нелишние» слагаемые совпадают у \( S_1 \) и \( S_2 \), смеем утверждать, что суммы равны.

Ответ: \( S_1 = S_2 \).


Автор: И.Л. на 03:35
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.