Найдите \( P_n \bigl( \bigant {\alpha} , \ \bigant {2\alpha} \bigr) = 0 \) для \( \forall \alpha \in \mathbb R \)

(*) Напомним, что полином \( \boldsymbol { n } \)-ой степени \(
( n \in \mathbb N )
\) с действительными коэффициентами от двух действительных аргументов имеет вид \[
P_n ( x, \ y) =
\sum _{ \stackrel
{\scriptstyle i =0, \, 1, \, \ldots, \, n}
{\scriptstyle j =0, \, 1, \, \ldots, \, n}
}
\hspace {-8pt}
A_{i, \, j} x^i y^j ,
\ \mbox { где}
\ A_{i, \, j} \in \mathbb R .
\] Будем называть полином невырожденным, если имеются ненулевые коэффициенты помимо \( A_{0, \, 0} \).
Задача предлагалась на The 66th William Lowell Putnam Mathematical Competition, 2005 год (см. архив задач).

66. Найдите невырожденный полином \(
P_n \bigl( \bigant {\alpha} , \ \bigant {2\alpha} \bigr)
\), которой равен \( 0 \) при любых действительных \( \alpha \).

Решение. Здесь надо бы догадаться, что \[
\bigant {2\alpha} - 2 \bigant {\alpha} = \bigant { 2 \mant \alpha}
\in \bigl\{ 0, \, 1 \bigr\} .
\] Дальнейшее очевидно, полином \[
P_2 \bigl( \bigant {\alpha} , \ \bigant {2\alpha} \bigr) =
\left( \bigant {2\alpha} - 2 \bigant {\alpha} \right) \cdot
\left( \bigant {2\alpha} - 2 \bigant {\alpha} - 1 \right)
\] всегда равен \( 0 \).

Ответ: \(
P_2 ( x, \ y) = (x-y) (x-y-1)
= x^2 - 2xy + y^2 -x + y
= 0
\) при \(
x = \bigant {\alpha}
\), \(
y = \bigant {2\alpha}
\).