\( \Biggl| \ant { - \dfrac n2 \vphantom {\dfrac 12}} \Biggr| = \Biggl| \ant { \dfrac n2 + \dfrac 12} \Biggr| \)

В одном из очередных сообщений будет использовано следующее тождество, в котором задействована функция абсолютного значения (функция модуля) действительного числа.

72. Докажите тождество \[
\Biggl| \ant { - \dfrac n2 \vphantom {\dfrac 12}} \Biggr| =
\Biggl| \ant { \dfrac n2 + \dfrac 12} \Biggr| ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb Z .
\tag {72.1}
\]

Доказательство. Конечно, можно рассмотреть два варианта, когда \( n \) — четное и нечетное. Однако, на мой взгляд, приводимое ниже обоснование интереснее.
Воспользуемся частным случаем тождества Эрмита

\[
\ant { 2x } = \ant x + \ant {x + \dfrac12} ,
\tag {С32}
\]

при условии \( 2x = -n \). \[
\begin {multline*}
\qquad
\Biggl| \ant { - \dfrac n2 \vphantom {\dfrac 12}} \Biggr| =
\Biggl| - n - \ant { - \dfrac n2 + \dfrac 12 } \Biggr| =
\\
=
\Biggl| n + \ant { - \dfrac n2 + \dfrac 12 } \Biggr| =
\Biggl| \ant { \dfrac n2 + \dfrac 12 } \Biggr| .
\qquad
\end {multline*}
\]\( \color{gray}{\blacksquare} \)