\( \bigant { \sqrt [\scriptstyle 3 \,] n + \frac12 } = k \), \( \bigant { \sqrt [\scriptstyle 3 \,] n + \frac12 } = k+1 \)

Условие следующей задачи навеяно фрагментом одного свежего заочного олимпиадного задания. Разумеется, формулировка изменена настолько, что осталась лишь идея решения, и едва ли удастся воспользоваться решением нашей задачи в качестве подсказки.

65. Пусть \( k \in \mathbb N \). Докажите, что при \(
k^3 < n < (k+1)^3
\) количество на­ту­раль­ных решений уравнений \[
\ant { \sqrt [\scriptstyle 3 \,] n + \frac12 } = k ,
\tag {65.1}
\] \[
\ant { \sqrt [\scriptstyle 3 \,] n + \frac12 } = k+1
\tag {65.2}
\] совпадает.

Доказательство. Мы не будем определять количество решений обоих уравнений. Это ... как-то прямолинейно, хотя и вполне приемлемый путь доказательства. Есть более хитрый и более простой подход.
Понятно, что все натуральные числа из интервала \[
k^3 < n < (k+1)^3
\tag {65.3}
\] являются решениями либо (65.1), либо (65.2). Количество целых чисел в данном интервале четное (иначе сразу опровергается утверждение в условии задачи), числа \( k^3 \) и \( (k+1)^3 \) разной четности. Пусть \( m \) — середина интервала (65.3), то есть \(
m = \frac {k^3 + (k+1)^3 } 2
\), очевидно, что \( m \not\in \mathbb N \). Рассмотрим \[
n_0 = \ant m = m - \frac12 = \frac {k^3 + (k+1)^3 - 1 } 2 .
\] Нетрудно показать, что \[
\ant { \sqrt [\scriptstyle 3 \,] { n_0 } + \frac12 } = k ,
\] \[
\ant { \sqrt [\scriptstyle 3 \,] { n_0 + 1 } + \frac12 } = k + 1
\] (докажите самостоятельно).
Поскольку \(
f (n ) = \ant { \sqrt [\scriptstyle 3 \,] n + \frac12 }
\) — неубывающая функция натурального аргумента, то \[
f (n ) =
\begin {cases}
k
& \mbox {при }
\ k^3 < n \leqslant n_0,
\\
k+1
& \mbox {при }
\ n_0 + 1 \leqslant n < (k+1)^3 .
\end {cases}
\] Количество целых чисел в полуинтервалах \(
\bigl( k^3, \ n_0 \bigr]
\) и \(
\bigl[ n_0 + 1, \ (k+1)^3 \bigr)
\) совпадает. \( \color{gray}{\blacksquare} \)