Другое решение уравнения \( \ant { \dfrac x2 } \ant { \dfrac x3 } \ant { \dfrac x4 } = x^2 \)

В предыдущем сообщении приведена следующая задача.

70а. (Австрия/2013) Решите уравнение в целых числах \[
\ant { \dfrac x2 } \ant { \dfrac x3 } \ant { \dfrac x4 } = x^2
\tag {70а.1}
\]

Данное уравнение имеет особенность — слева стоит «почти кубическая» функция. Значит, в решении можно использовать оценки.
Решение. Не будем повторять начало решения, пусть далее \(
x \in \mathbb N_{\geqslant 4} \).
Поскольку \[
\dfrac x2 - \dfrac 12 \leqslant \ant {\dfrac x2} \leqslant \dfrac x2 ,
\] \[
\dfrac x3 - \dfrac 23\leqslant \ant {\dfrac x3} \leqslant \dfrac x3 ,
\] \[
\dfrac x4 - \dfrac 34 \leqslant \ant {\dfrac x4} \leqslant \dfrac x4 ,
\] то \[
\dfrac 1 {24} (x-2) (x-3) (x-4) \leqslant
\ant { \dfrac x2 } \ant { \dfrac x3 } \ant { \dfrac x4 } \leqslant
\dfrac {x^3}{24} ,
\] \[
(x-1) (x-2) (x-3) \leqslant
24 x^2 \leqslant
x^3 .
\tag {70а.2}
\] Если имеются целочисленные решения \(
x \geqslant 4
\) исходного уравнения, то при этих значениях \( x \) должно выполняться условие (70а.2), однако не все решения (70а.2) становятся решениями исходного уравнения.
Не составляет особого труда показать, что лишь при \( x = 24 \) одновременно выполняются неравенства (70а.2) и уравнение (70а.1).

Ответ: \(
0, \, 24 .
\)

Примечание. Ни в коем случае не надо решать левое кубическое неравенство (70а.2). Достаточно выяснить, что при \( x \geqslant 30 \) оно не имеет смысла, а при \( x = 25 \), \( 26 \), \( 27 \), \( 28 \), \( 29 \) не выполняется (70а.1).