\( \ant { \dfrac x2 } \ant { \dfrac x3 } \ant { \dfrac x4 } = x^2 \)

Интересное, хотя и несложное уравнение предлагалось в 2013 году на региональном этапе Австрийской МО.

70. Решите уравнение в целых числах \[
\ant { \dfrac x2 } \ant { \dfrac x3 } \ant { \dfrac x4 } = x^2
\tag {70.1}
\]

Решение. 1) Если \( x < 0 \), то решений нет, поскольку левая часть (70.1) отрицательная.

2) Понятно, \( x = 0 \) пишем в ответ.

3) При \( x = 1, \, 2, \, 3 \) левая часть (70.1) равна \( 0 \). Значит, \(
x \geqslant 4 \).

4) Пусть \( x \) — нечетное число, то есть \(
x = 2n +1 \), где \( n \in \mathbb N_{\geqslant 2} \). Тогда уравнение (70.1) приводится к виду \[
n \ant { \dfrac {2n+1} 3 } \ant { \dfrac {2n+1} 4 } = (2n+1)^2 .
\tag {70.2}
\] Правая часть (70.2) не делится на \( n \not= 1 \), следовательно, среди нечетных чисел не может быть решений исходного уравнения.

5) Если \( x = 4n \), где \( n \in \mathbb N_{\geqslant 2} \), уравнение (70.1) примет вид \[
2n^2 \left( n + \ant { \dfrac n 3 } \right) = 16n^2 ,
\] \[
n + \ant { \dfrac n 3 } = 8 .
\tag {70.3}
\] \( n= 6 \) (\( x =24 \) пишем в ответ) легко подбирается, а поскольку \(
f (n) = n + \ant { \frac n3 }
\) возрастает, других решений (70.3) нет.

6) Последний случай — \( x = 4n + 2 \), где \(
n \in \mathbb N_{\geqslant 2} \). Тогда \[
n (2n+1) \left( n + \ant { \dfrac {n+2} 3 } \right) = 4 (2n+1)^2 ,
\] \[
n \left( n + \ant { \dfrac {n+2} 3 } \right) = 4 (2n+1) .
\tag {70.4}
\] Чтобы правая часть (70.4) делилась на \( n \), число \( 4 \) должно делиться на \( n \), что возможно только при \( n = 1, \, 2, \, 4 \). Легко убедиться, что (70.4) не имеет решений.

Ответ: \( x = 0, \, 24 \).