\( \ant {\dfrac nm} ^m = P_0 (n) + P_1(n) \ant {\dfrac nm} + \ldots + P_{m-1} \ant {\dfrac nm} ^{m-1} \)

(*) На олимпиаде The 68th William Lowell Putnam Mathematical Competition (2007 год, см. архив задач) была предложена необычная задача, слегка напоминающая более раннюю задачу 66 (по-видимому, того же автора). Короткое и красивое решение.

67. Пусть \( m \) — некоторое натуральное число. Докажите, что существуют полиномы \( P_0 (n) \), \( P_1 (n) \), \( \ldots \), \( P_{m-1} (n) \) (коэффициенты полиномов могут зависеть от \( m \)) такие, что \[
\ant {\dfrac nm} ^m =
P_0 (n) + P_1(n) \ant {\dfrac n m} + \ldots +
P_{m-1} \ant {\dfrac n m} ^{m-1} .
\tag {67.1}
\]

Доказательство. Заметим важный нюанс в формулировке задания — в задаче не требуется вывести полиномы, а надо лишь доказать их существование.
Идея предлагаемого доказательства основана на следующем утверждении.
Для любого натурального \( m \) и любого целого \( n \) существует неотрицательное целое число \( k \), определяемое из условия \(
n \equiv k \pmod m
\), что выполняется равенство \[
\mant {\dfrac n m} = \dfrac k m ,
\ \mbox { или }
\ant {\dfrac n m} = \dfrac {n - k} m .
\] Осталось догадаться, что после раскрытия скобок в равенстве \[
\left(
\ant {\dfrac n m} - \dfrac n m
\right)
\cdot
\left(
\ant {\dfrac n m} - \dfrac { n - 1 } m
\right)
\cdot
\ldots
\cdot
\left(
\ant {\dfrac n m} - \dfrac { n - (m-1) } m
\right)
= 0
\] получим формулу (67.1), например, \[
P_0 (n) =
(-1)^{m-1} \cdot
\dfrac n m \cdot \dfrac {n-1} m \cdot \ldots
\cdot \dfrac {n - (m-1)} m .
\]\( \color{gray}{\blacksquare} \)