«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

28 ноября 2015 г.

\( \ant { \dfrac {a+b}3 } ^2 + \ant { \dfrac {b+c}3 } ^2 + \ant { \dfrac {c+d}3 } ^2 + \ant { \dfrac {d+e}3 } ^2 = 38 \)

Еще одна задача из Австрии, которая предлагалась на региональном этапе в 2007 году.
71. Определите целые числа \(
a > b > c > d > e > 0
\) такие, что \[
\ant { \dfrac {a+b}3 } ^2 +
\ant { \dfrac {b+c}3 } ^2 +
\ant { \dfrac {c+d}3 } ^2 +
\ant { \dfrac {d+e}3 } ^2 = 38
\tag {71.1}
\]
Решение. Сумма четырех ненулевых квадратов равна \( 38 \). Выбор скудный — только среди чисел \( 25 \), \( 16 \), \( 9 \), \( 4 \), \( 1 \). Несложный перебор приводит к единственному представлению \[
4^2 + 3^2 + 3^2 + 2^2 = 38.
\] То есть одновременно должны выполняться четыре уравнения: \[
\ant { \dfrac {a+b}3 } = 4 ,
\quad
\ant { \dfrac {b+c}3 } = 3 ,
\quad
\ant { \dfrac {c+d}3 } = 3 ,
\quad
\ant { \dfrac {d+e}3 } = 2 ,
\] которые приводятся к системе неравенств \[
\begin {cases}
4 \leqslant \dfrac {a+b}3 < 5 ,
\\
3 \leqslant \dfrac {b+c}3 < 4 ,
\\
3 \leqslant \dfrac {c+d}3 < 4 ,
\\
2 \leqslant \dfrac {d+e}3 < 3 ,
\end {cases}
\quad \mbox {или} \quad
\begin {cases}
12 \leqslant a+b < 15 ,
\\[8pt]
9 \leqslant b+c < 12 ,
\\[8pt]
9 \leqslant c+d < 12 ,
\\[8pt]
6 \leqslant d+e < 9 .
\end {cases}
\] Поскольку требуется найти различные натуральные числа, о которых еще известен их порядок по возрастанию, решение последней системы упрощается.
Из последнего неравенства делаем вывод, что \(
d \geqslant 4 \). Но если \( d = 5 \), то \( c \geqslant 6 \) и \( b \geqslant 7 \), что нарушает условие \( b+c < 12 \).
Следовательно, \( d = 4 \), \( c = 5 \), \( b = 6 \), по-другому быть не может. \( e = 2 \) или \( 3 \), \( a = 7 \) или \( 8 \).

Ответ: \(
(2, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7)
\), \(
(3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7)
\), \(
(2, \, 4, \, 5, \, 6, \, 8)
\), \(
(3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 8)
\).


Автор: И.Л. на 22:11
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

Комментариев нет :

Отправить комментарий

Следующее Предыдущее Главная страница
Подписаться на: Комментарии к сообщению ( Atom )

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв 2017 ( 1 )
  • ноя 2016 ( 9 )
  • окт 2016 ( 11 )
  • сен 2016 ( 7 )
  • авг 2016 ( 8 )
  • июл 2016 ( 5 )
  • июн 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр 2016 ( 12 )
  • мар 2016 ( 5 )
  • янв 2016 ( 1 )
  • дек 2015 ( 11 )
  • ноя 2015 ( 11 )
  • окт 2015 ( 17 )
  • сен 2015 ( 13 )
  • авг 2015 ( 12 )
  • июл 2015 ( 14 )
  • июн 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.