\( \ant { \dfrac {a+b}3 } ^2 + \ant { \dfrac {b+c}3 } ^2 + \ant { \dfrac {c+d}3 } ^2 + \ant { \dfrac {d+e}3 } ^2 = 38 \)

Еще одна задача из Австрии, которая предлагалась на региональном этапе в 2007 году.

71. Определите целые числа \(
a > b > c > d > e > 0
\) такие, что \[
\ant { \dfrac {a+b}3 } ^2 +
\ant { \dfrac {b+c}3 } ^2 +
\ant { \dfrac {c+d}3 } ^2 +
\ant { \dfrac {d+e}3 } ^2 = 38
\tag {71.1}
\]

Решение. Сумма четырех ненулевых квадратов равна \( 38 \). Выбор скудный — только среди чисел \( 25 \), \( 16 \), \( 9 \), \( 4 \), \( 1 \). Несложный перебор приводит к единственному представлению \[
4^2 + 3^2 + 3^2 + 2^2 = 38.
\] То есть одновременно должны выполняться четыре уравнения: \[
\ant { \dfrac {a+b}3 } = 4 ,
\quad
\ant { \dfrac {b+c}3 } = 3 ,
\quad
\ant { \dfrac {c+d}3 } = 3 ,
\quad
\ant { \dfrac {d+e}3 } = 2 ,
\] которые приводятся к системе неравенств \[
\begin {cases}
4 \leqslant \dfrac {a+b}3 < 5 ,
\\
3 \leqslant \dfrac {b+c}3 < 4 ,
\\
3 \leqslant \dfrac {c+d}3 < 4 ,
\\
2 \leqslant \dfrac {d+e}3 < 3 ,
\end {cases}
\quad \mbox {или} \quad
\begin {cases}
12 \leqslant a+b < 15 ,
\\[8pt]
9 \leqslant b+c < 12 ,
\\[8pt]
9 \leqslant c+d < 12 ,
\\[8pt]
6 \leqslant d+e < 9 .
\end {cases}
\] Поскольку требуется найти различные натуральные числа, о которых еще известен их порядок по возрастанию, решение последней системы упрощается.
Из последнего неравенства делаем вывод, что \(
d \geqslant 4 \). Но если \( d = 5 \), то \( c \geqslant 6 \) и \( b \geqslant 7 \), что нарушает условие \( b+c < 12 \).
Следовательно, \( d = 4 \), \( c = 5 \), \( b = 6 \), по-другому быть не может. \( e = 2 \) или \( 3 \), \( a = 7 \) или \( 8 \).

Ответ: \(
(2, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7)
\), \(
(3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7)
\), \(
(2, \, 4, \, 5, \, 6, \, 8)
\), \(
(3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 8)
\).