\( x_n = \sum_{i=1}^k\limits \ant {na_i+b_i} \)

На олимпиаде APMO/2013 (Asian Pacific Mathematics Olympiad) была и вторая задача на антье и мантиссу (3-я задача из пяти).

50. Задана бесконечная числовая последовательность \(
\left\{ x_n \right\}
\) \[
x_n =
\sum_{i=1}^k \ant {na_i+b_i} ,
\] где \( k \in \mathbb N \), \(
a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_k, \,
b_1, \, b_2, \, \ldots, \, b_k \in \mathbb R
\). Докажите, что если \(
\left\{ x_n \right\}
\) — арифметическая прогрессия, то \(
\sum_{i=1}^k\limits a_i
\) — целое число.

Доказательство. Да-а-а, «накрутил» автор в условии задачи.
Пусть \(
\left\{ x_n \right\}
\) — бесконечная арифметическая прогрессия. Обозначим разность прогрессии за \( d \). \[
md = x_{n+m} - x_n =
\sum_{i=1}^k \Bigl(
\ant {(n+m)a_i+b_i} - \ant {na_i+b_i}
\Bigr) .
\] Для любого \( 1 \leqslant i \leqslant k \) выполняются неравенства: \[
\ant {na_i+b_i} + \ant {ma_i} \leqslant
\ant {(n+m)a_i+b_i} \leqslant
\ant {na_i+b_i} + \ant {ma_i} + 1 ,
\] см. свойство (С28), следовательно, \[
\sum_{i=1}^k \ant {ma_i}
\leqslant md \leqslant
\sum_{i=1}^k \ant {ma_i} + k .
\] Тогда (обозначим \( A = \sum_{i=1}^k\limits a_i \)) \[
m A - \sum_{i=1}^k \mant {ma_i}
\leqslant md \leqslant
m A - \sum_{i=1}^k \mant {ma_i} + k ,
\] \[
- \sum_{i=1}^k \mant {ma_i}
\leqslant md - m A \leqslant
- \sum_{i=1}^k \mant {ma_i} + k ,
\] \[
\dfrac 1m \cdot \left( \sum_{i=1}^k \mant {ma_i} - k \right)
\leqslant A - d \leqslant
\dfrac 1m \cdot \sum_{i=1}^k \mant {ma_i} .
\] Поскольку \(
0 \leqslant \sum_{i=1}^k\limits \mant {ma_i} < k
\), то \[
- \dfrac km
\leqslant A - d \leqslant
\dfrac km .
\] Последнее неравенство должно выполняться для любого натурального \( m \) (ведь прогрессия \(
\left\{ x_n \right\}
\) бесконечная) при некотором фиксированном \( k \). Значит, \(
d = \sum_{i=1}^k\limits a_i
\), а \( d \) — целое число.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)