«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

5 октября 2015 г.

\( x_n = \sum_{i=1}^k\limits \ant {na_i+b_i} \)

На олимпиаде APMO/2013 (Asian Pacific Mathematics Olympiad) была и вторая задача на антье и мантиссу (3-я задача из пяти).
50. Задана бесконечная числовая последовательность \(
\left\{ x_n \right\}
\) \[
x_n =
\sum_{i=1}^k \ant {na_i+b_i} ,
\] где \( k \in \mathbb N \), \(
a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_k, \,
b_1, \, b_2, \, \ldots, \, b_k \in \mathbb R
\). Докажите, что если \(
\left\{ x_n \right\}
\) — арифметическая прогрессия, то \(
\sum_{i=1}^k\limits a_i
\) — целое число.
Доказательство. Да-а-а, «накрутил» автор в условии задачи.
Пусть \(
\left\{ x_n \right\}
\) — бесконечная арифметическая прогрессия. Обозначим разность прогрессии за \( d \). \[
md = x_{n+m} - x_n =
\sum_{i=1}^k \Bigl(
\ant {(n+m)a_i+b_i} - \ant {na_i+b_i}
\Bigr) .
\] Для любого \( 1 \leqslant i \leqslant k \) выполняются неравенства: \[
\ant {na_i+b_i} + \ant {ma_i} \leqslant
\ant {(n+m)a_i+b_i} \leqslant
\ant {na_i+b_i} + \ant {ma_i} + 1 ,
\] см. свойство (С28), следовательно, \[
\sum_{i=1}^k \ant {ma_i}
\leqslant md \leqslant
\sum_{i=1}^k \ant {ma_i} + k .
\] Тогда (обозначим \( A = \sum_{i=1}^k\limits a_i \)) \[
m A - \sum_{i=1}^k \mant {ma_i}
\leqslant md \leqslant
m A - \sum_{i=1}^k \mant {ma_i} + k ,
\] \[
- \sum_{i=1}^k \mant {ma_i}
\leqslant md - m A \leqslant
- \sum_{i=1}^k \mant {ma_i} + k ,
\] \[
\dfrac 1m \cdot \left( \sum_{i=1}^k \mant {ma_i} - k \right)
\leqslant A - d \leqslant
\dfrac 1m \cdot \sum_{i=1}^k \mant {ma_i} .
\] Поскольку \(
0 \leqslant \sum_{i=1}^k\limits \mant {ma_i} < k
\), то \[
- \dfrac km
\leqslant A - d \leqslant
\dfrac km .
\] Последнее неравенство должно выполняться для любого натурального \( m \) (ведь прогрессия \(
\left\{ x_n \right\}
\) бесконечная) при некотором фиксированном \( k \). Значит, \(
d = \sum_{i=1}^k\limits a_i
\), а \( d \) — целое число.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 12:45
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.