«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

26 октября 2015 г.

\( \sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } > 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \ant { \dfrac n {\sqrt2} } = \ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } \)

Все-таки необычные утверждения иногда встречаются в теме антье и ман­тисса. Еще одно из таких. По-моему, равносильность отнюдь не очевидна.
62. Пусть \( n \in \mathbb N \). Докажите, что \[ \sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } > 1
\quad \Longleftrightarrow \quad
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } .
\tag {62.1}
\]
Доказательство. Выполним следующие равносильные преобразования: \[
\sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } > 1
\quad \Longleftrightarrow \quad
\dfrac {n+1} {\sqrt2} -
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } >
\dfrac 1 {\sqrt2}
\quad \Longleftrightarrow
\] \[
\Longleftrightarrow \quad
\dfrac n {\sqrt2} >
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} }
\quad \Longleftrightarrow \quad
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } \geqslant
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} }
\quad \Longleftrightarrow
\] \[
\Longleftrightarrow \quad
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } .
\] \( \color{gray}{\blacksquare} \)

Примечание 1. Согласно утверждению, сформулированному в задаче 21, \[
\mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } \geqslant
\mant { \dfrac n {\sqrt2} }
\quad \Longleftrightarrow \quad
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } .
\tag {62.2}
\]
Примечание 2. Натуральными решениями уравнения \(
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} }
\) являются числа вида \(
\ant { k \bigl( 2 + \sqrt2 \bigr) }
\) \( ( k \in \mathbb N ) \) — спектр числа \( 2 + \sqrt2 \): \[
S (2 + \sqrt2) = \bigl\{
3, \ 6, \ 10, \ 13, \ 17, \ 20, \ \ldots
\bigr\} .
\] См. в задачнике «А. и м.» раздел 22. «Спектр действительного числа».


Автор: И.Л. на 14:31
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.