\( \sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } > 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \ant { \dfrac n {\sqrt2} } = \ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } \)

Все-таки необычные утверждения иногда встречаются в теме антье и ман­тисса. Еще одно из таких. По-моему, равносильность отнюдь не очевидна.

62. Пусть \( n \in \mathbb N \). Докажите, что \[ \sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } > 1
\quad \Longleftrightarrow \quad
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } .
\tag {62.1}
\]

Доказательство. Выполним следующие равносильные преобразования: \[
\sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } > 1
\quad \Longleftrightarrow \quad
\dfrac {n+1} {\sqrt2} -
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } >
\dfrac 1 {\sqrt2}
\quad \Longleftrightarrow
\] \[
\Longleftrightarrow \quad
\dfrac n {\sqrt2} >
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} }
\quad \Longleftrightarrow \quad
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } \geqslant
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} }
\quad \Longleftrightarrow
\] \[
\Longleftrightarrow \quad
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } .
\] \( \color{gray}{\blacksquare} \)

Примечание 1. Согласно утверждению, сформулированному в задаче 21, \[
\mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } \geqslant
\mant { \dfrac n {\sqrt2} }
\quad \Longleftrightarrow \quad
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } .
\tag {62.2}
\]
Примечание 2. Натуральными решениями уравнения \(
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} }
\) являются числа вида \(
\ant { k \bigl( 2 + \sqrt2 \bigr) }
\) \( ( k \in \mathbb N ) \) — спектр числа \( 2 + \sqrt2 \): \[
S (2 + \sqrt2) = \bigl\{
3, \ 6, \ 10, \ 13, \ 17, \ 20, \ \ldots
\bigr\} .
\] См. в задачнике «А. и м.» раздел 22. «Спектр действительного числа».