\( n = \bigant { a_n \sqrt2 } + \bigant { b_n \sqrt3 } \)

Продолжение вчерашнего сообщения.
На основе задачи 61 удалось сделать новую задачу.

63. Определите формулы \( n \)-го члена целочисленных по­сле­до­ва­тель­нос­тей \(
\bigl\{ a_n \bigr\} \) и \(
\bigl\{ b_n \bigr\} \) \(
\bigl( b_n \in \{ 0, \, 1 \} \bigr)
\), для которых выполняется равенство \[
n = \bigant { a_n \sqrt2 } + \bigant { b_n \sqrt3 }
\ \mbox { при } \forall n \in \mathbb N .
\tag {63.1}
\]

Решение. Рассмотрим 2 случая: \[
\begin {cases}
\bigant { a_n \sqrt2 } = n,
\\[4pt]
\bigant { b_n \sqrt3 } = 0 ,
\end {cases}
\quad
\tag {63.2}
\] \[
\quad
\begin {cases}
\bigant { a_n \sqrt2 } = n-1,
\\[4pt]
\bigant { b_n \sqrt3 } = 1 .
\end {cases}
\tag {63.3}
\] Преобразуем первое уравнение (63.2) \[
n < a_n \sqrt2 < n+1
\] (левое неравенство строгое, так как \(
a_n \sqrt2
\) — иррациональное число). \[
\dfrac n {\sqrt2} < a_n < \dfrac {n+1} {\sqrt2} ,
\] \[
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } < a_n \leqslant \ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } ,
\] \[
a_n = \ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } .
\tag {63.4}
\] Обратим внимание на то, что формула (63.4) «работает» не при любых \(
n \in \mathbb N
\), а только при которых выполняется первое условие в (63.2). Приведем контрпример: \(
\bigant { a_3 \sqrt2 } \not= 3
\), значит, для \( n = 3 \) формула (63.4) не подходит.

Аналогичным способом выводится, что при первом условии в (63.3) \[
a_n = \ant { \dfrac n {\sqrt2} } .
\] Оказывается, \(
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} }
\), если не выполняется первое условие в (63.2), то есть выполняется первое условие в (63.3). Тогда для обоих случаев верна единая формула (63.4)! Обоснуем данный факт.

Подставим (63.4) в (63.2) \[
a_n =
\ant { \sqrt2 \cdot \ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } } =
n+1 + \biggl[ - \underbrace {
\sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} }
}_{\displaystyle \alpha}
\biggr] =
n+1+\ant {-\alpha}.
\] Какие значения принимает \(
\alpha = \sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} }
\)?
1) \( \alpha \) не равняется \( 0 \), поскольку мантисса не равна \( 0 \).
2) \( \alpha \) не равняется \( 1 \), поскольку мантисса не равна \(
\dfrac 1 {\sqrt2}
\).
3) \(
a_n =
\begin {cases}
n, & \mbox {при } 0 < \alpha < 1 ,
\\
n-1, & \mbox {при } \alpha > 1 .
\end {cases}
\)

Воспользовавшись утверждением (62.1), можем считать установленным, что если \(
\alpha > 1
\), то можно применять формулу (63.4).
Таким образом, формула (63.4) «работает» при любых \(
n \in \mathbb N \).

Полагаю, что формула для \( b_n \) не требует объяснений: \[
b_n =
\ant { \alpha } =
\ant { \sqrt 2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt 2} } } .
\tag {63.5}
\]
Ответ: \(
\ a_n = \ant { \dfrac {n+1} {\sqrt 2} },
\ b_n = \ant { \sqrt 2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt 2} } }
\).