«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

26 октября 2015 г.

\( n = \bigant { a \sqrt2 } + \bigant { b \sqrt3 } \)

(*) Предварительные списки олимпиадных задач, из которых организаторы от­би­ра­ют задания для олимпиады, — подборки интереснейших задач, под­час мало уступающие основным. Следующая задача из шортлиста JBMO/2010 (The 14th Junior Balkan Mathematical Olympiad, Румыния, 2010 год).
61. Докажите, что для любого целого \( n \) найдутся целые \( a \) и \( b \) такие, что будет выполняться равенство \[
n = \bigant { a \sqrt2 } + \bigant { b \sqrt3 } .
\tag {61.1}
\]
Доказательство. Рассмотрим множество целых чисел вида \(
\alpha_k = \bigant { k \sqrt2 }
\), где \( k \in \mathbb Z \) (пусть вас не пугают отрицательные индексы \(
\alpha_k
\), данное обо­зна­че­ние вводится для удобства). Насколько далеко друг от друга рас­по­ло­же­ны соседние \( \alpha_k \)? \[
\alpha_{k+1} - \alpha_k =
\bigant { (k+1) \sqrt2 } - \bigant { k \sqrt2 } =
\bigant { \mant { k \sqrt2 } + \sqrt2 }
\in \bigl\{
1, \ 2
\bigr\} .
\] То есть соседние \( \alpha_k \) либо стоят рядом, либо между ними располагается только одно целое число.
Поскольку \( \bigant { \sqrt3 } = 1 \), то множество всех целых чисел \(
\mathbb Z
\) покрывается мно­жест­вом чисел (с повторами), представляющих собой сумму \(
\bigant { a \sqrt2 } + \bigant { b \sqrt3 }
\), где \(
a \in \mathbb Z
\), \(
b \in \bigl\{ 0, \ 1 \bigr\}
\).
  \( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 00:40
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.