\( n = \bigant { a \sqrt2 } + \bigant { b \sqrt3 } \)

(*) Предварительные списки олимпиадных задач, из которых организаторы от­би­ра­ют задания для олимпиады, — подборки интереснейших задач, под­час мало уступающие основным. Следующая задача из шортлиста JBMO/2010 (The 14th Junior Balkan Mathematical Olympiad, Румыния, 2010 год).

61. Докажите, что для любого целого \( n \) найдутся целые \( a \) и \( b \) такие, что будет выполняться равенство \[
n = \bigant { a \sqrt2 } + \bigant { b \sqrt3 } .
\tag {61.1}
\]

Доказательство. Рассмотрим множество целых чисел вида \(
\alpha_k = \bigant { k \sqrt2 }
\), где \( k \in \mathbb Z \) (пусть вас не пугают отрицательные индексы \(
\alpha_k
\), данное обо­зна­че­ние вводится для удобства). Насколько далеко друг от друга рас­по­ло­же­ны соседние \( \alpha_k \)? \[
\alpha_{k+1} - \alpha_k =
\bigant { (k+1) \sqrt2 } - \bigant { k \sqrt2 } =
\bigant { \mant { k \sqrt2 } + \sqrt2 }
\in \bigl\{
1, \ 2
\bigr\} .
\] То есть соседние \( \alpha_k \) либо стоят рядом, либо между ними располагается только одно целое число.
Поскольку \( \bigant { \sqrt3 } = 1 \), то множество всех целых чисел \(
\mathbb Z
\) покрывается мно­жест­вом чисел (с повторами), представляющих собой сумму \(
\bigant { a \sqrt2 } + \bigant { b \sqrt3 }
\), где \(
a \in \mathbb Z
\), \(
b \in \bigl\{ 0, \ 1 \bigr\}
\).
  \( \color{gray}{\blacksquare} \)