Два функциональных уравнения

(*) В форуме http://artofproblemsolving.com нашлась еще пара (первое, второе) интересных, но не сложных функциональных уравнений (к сожалению, авторы не указаны).

52. Определите все функции \(
f : \mathbb R_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb R
\) такие, что для любых \( x \in \mathbb R_{\geqslant 0} \) выполняется равенство \[
x = f (x) + \sqrt { f^2 \bigl( \ant x \bigr) + f^2 \bigl( \mant x \bigr) }
\] $\bigl($здесь и далее \( f^2 (z) = f (z) \cdot f (z) \)$\bigr)$.

53. Определите все функции \(
f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R
\) такие, что для любых \( x \in \mathbb R \) выполняется равенство \[
f \bigl( \ant x \bigr) + f \bigl( \mant x \bigr) = 2 f (x) - x^2 .
\]

Указание для 52. Сначала рассмотрите случай \( x = 0 \), затем — два варианта:
1) \( x \in (0,\, 1) \) и
2) \( x \in \mathbb Z_{{\geqslant 0}} \).
Ответ: \( f (x) = x - \dfrac { \sqrt { \ant x ^2 + \mant x ^2 } } 2 \).

Указание для 53. Случай \( x = 0 \) приводит к \( f (0) = a \), где \(
a \in \mathbb R \). Далее определите \(
f \bigl( \ant x \bigr) \) и \(
f \bigl( \mant x \bigr) \).

Ответ: \( f (x) = a + \dfrac { x^2 + \ant x ^2 + \mant x ^2 } 2 \), где \(
a \in \mathbb R \).