«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

8 октября 2015 г.

Два функциональных уравнения

(*) В форуме http://artofproblemsolving.com нашлась еще пара (первое, второе) интересных, но не сложных функциональных уравнений (к сожалению, авторы не указаны).
52. Определите все функции \(
f : \mathbb R_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb R
\) такие, что для любых \( x \in \mathbb R_{\geqslant 0} \) выполняется равенство \[
x = f (x) + \sqrt { f^2 \bigl( \ant x \bigr) + f^2 \bigl( \mant x \bigr) }
\] $\bigl($здесь и далее \( f^2 (z) = f (z) \cdot f (z) \)$\bigr)$.
53. Определите все функции \(
f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R
\) такие, что для любых \( x \in \mathbb R \) выполняется равенство \[
f \bigl( \ant x \bigr) + f \bigl( \mant x \bigr) = 2 f (x) - x^2 .
\]
Указание для 52. Сначала рассмотрите случай \( x = 0 \), затем — два варианта:
1) \( x \in (0,\, 1) \) и
2) \( x \in \mathbb Z_{{\geqslant 0}} \).
Ответ: \( f (x) = x - \dfrac { \sqrt { \ant x ^2 + \mant x ^2 } } 2 \).

Указание для 53. Случай \( x = 0 \) приводит к \( f (0) = a \), где \(
a \in \mathbb R \). Далее определите \(
f \bigl( \ant x \bigr) \) и \(
f \bigl( \mant x \bigr) \).

Ответ: \( f (x) = a + \dfrac { x^2 + \ant x ^2 + \mant x ^2 } 2 \), где \(
a \in \mathbb R \).



Автор: И.Л. на 22:12
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.