\( \bigl\{ 1, \, 2, \, 3, \, 3, \, 4, \, 4, \, 4, \, 5, \, 5, \, 5, \, 5, \, 5, \, \ldots, \, \underbrace { m, \, m, \, \ldots, \, m }_{F_m \text { элементов}}, \, \ldots \bigr\} \)

(*) Вывод формулы \( n \)-го члена последовательности, которая задается вербально, можно отнести к самым математическим задачам, потому что это задание — на формализацию в виде некоторого алгебраического выражения описанной лишь словами целочисленной закономерности.

46. \( \left\{ a_n \right\} \) — неубывающая числовая последовательность, в которой каждое натуральное число \( m \) повторяется \( F_m \) раз, где \( F_m \) — \( m \)-ое число Фибоначчи: \[
\left\{ a_n \right\} =
\bigl\{
1, \, 2, \, 3, \, 3, \, 4, \, 4, \, 4, \, 5, \, 5, \, 5, \, 5, \, 5, \, \ldots, \,
\underbrace {
m, \, m, \, \ldots, \, m
}_{
F_m \text { элементов}
}, \, \ldots
\bigr\} .
\] Выведите формулу \( n \)-го элемента этой последовательности.

Решение. В «А. и м.» таким задачам посвящен п. 20.1. «Целочисленные последовательности», в начале которого изложен метод вывода формулы \( n \)-го элемента. Продемонстрируем этот алгоритм.
Пусть \[
a_n =
a_{n+1} = \ldots =
a_{n+F_m-1} = m .
\] Тогда \[
F_1 + F_2 + \ldots + F_{m-1} < n ,
\] \[
n+F_m-1 \leqslant F_1 + F_2 + \ldots + F_m .
\] Или для \(
k = n, \, n+1, \, \ldots, \, n+F_m-1
\) \(
\left( a_k = m \right)
\) \[
F_1 + F_2 + \ldots + F_{m-1}
< k \leqslant
F_1 + F_2 + \ldots + F_m .
\tag{46.1}
\] Примечание. Неравенства для индексов последовательности \( \left\{ a_n \right\} \) (46.1) — первый этап метода. Далее требуется вывести неравенство вида \(
m \leqslant f (n) < m+1
\) (мы же догадываемся, что задача на антье). А поскольку \( m = a_n , \) то ответом будет \(
a_n = \ant { f (n) } .
\)

Воспользуемся тождеством \(
F_1 + F_2 + \ldots + F_n = F_{n+2}-1 :
\) \[
F_{m+1} - 1
< k \leqslant
F_{m+2} - 1 ,
\] \[
F_{m+1}
< k+1 \leqslant
F_{m+2} .
\] В задаче 344 доказывается, что \(
F_n = \ant { \dfrac {\varphi^n}{\sqrt5} + \dfrac12 } ,
\) где \(
\varphi = \dfrac {1+\sqrt5} 2 .
\) Значит, \[
\ant { \dfrac {\varphi^{m+1}}{\sqrt5} + \dfrac12 }
< k+1 \leqslant
\ant { \dfrac {\varphi^{m+2}}{\sqrt5} + \dfrac12 } .
\] Перейдем к неравенству-следствию \[
\dfrac {\varphi^{m+1}}{\sqrt5} + \dfrac12
< k+1 <
\dfrac {\varphi^{m+2}}{\sqrt5} + \dfrac12 .
\] Дальнейшее приведем без пояснений \[
\varphi^{m+1}
< \sqrt5 \left( k+\dfrac12 \right) <
\varphi^{m+2} ,
\] \[
m+1
< \log_{\varphi} \left( \sqrt5 \left( k+\dfrac12 \right) \right) <
m+2 ,
\] \[
m
< \log_{\varphi} \left( \sqrt5 \left( k+\dfrac12 \right) \right) - 1 <
m+1 ,
\] \[
m = a_k = \ant {
\log_{\varphi} \left( \sqrt5 \left( k+\dfrac12 \right) \right)
} - 1 .
\]
Ответ: \(
a_n =\ant {
\log_{\varphi} \left( \sqrt5 \left( n+\dfrac12 \right) \right)
} - 1 .
\)