\( \bigant { f (x+y) } = f^2 (x+y) + f (x) + f (y) \)

(*) Второе (первое — см. задачу 33) функциональное уравнение в блоге, которое опубликовано в форуме http://artofproblemsolving.com.

51. (A. Hossein) Определите все функции \( f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \) такие, что для любых \( x, \, y \in \mathbb R \) выполняется равенство \[
\bigant { f (x+y) } =
f^2 (x+y) + f (x) + f (y)
\tag {51.1}
\] $\bigl($здесь и далее \( f^2 (z) = f (z) \cdot f (z) \)$\bigr)$.

Решение. Пусть \( x = y = 0 \), тогда (51.1) примет вид \[
\bigant { f (0) } =
f^2 (0) + 2 f (0) ,
\ \mbox { или}
\] \[
\ant \alpha =
\alpha^2 + 2 \alpha ,
\ \mbox { где } \alpha = f (0).
\tag {51.2}
\] Уравнение (51.2) равносильно системе (см. п. 12.2. задачника «А. и м.») \[
\begin{cases}
0 \leqslant \alpha - \alpha^2 - 2 \alpha < 1 ,
\\[4pt]
\alpha^2 + 2 \alpha \in \mathbb Z ,
\end{cases}
\] решение которой предоставим читателю. \(
\alpha = -1, \, 0
\).
Пусть \( y = 0 \), тогда (51.1) примет вид \[
\bigant { f (x) } =
f^2 (x) + f (x) + f (0) ,
\ \mbox { или}
\] \[
f^2 (x) = - \bigmant { f (x) } - f (0) .
\] 1) Если \( f (0) = 0 \), то \( f^2 (x) = - \bigmant { f (x) } \). Значит, \(
f^2 (x) = 0 \) (мантисса принимает только неотрицательные значения), то есть в ответ пишем \( f (x) = 0 \).
2) Если \( f (0) = -1 \), то \[
f^2 (x) = 1 - \bigmant { f (x) } .
\tag {51.3}
\] Следовательно, \( f^2 (x) \leqslant 1 \), или \( -1 \leqslant f (x) \leqslant 1 \).
2а) Пусть \( -1 \leqslant f (x) < 0 \), тогда \(
\bigmant { f (x) } = \bigmant { 1+ f (x) } = 1+ f (x)
\). Уравнение (51.3) примет вид \(
f^2 (x) = - f (x) \), или \(
f (x) \cdot \bigl( f (x) + 1 \bigr) = 0 \), что дает второй ответ \( f (x) = -1 \).
2а) Случай \( 0 \leqslant f (x) \leqslant 1 \) не имеет смысла рассматривать, поскольку не выполняется условие \( f (0) = -1 \).

Ответ: \( f(x) = -1 \), \( f(x) = 0 \).