«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

20 октября 2015 г.

\( \Bigant { \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 } \)

(*) Olymon (The Mathematical Olympiads Correspondence Program, Канада) — ежемесячная подборка интересных математических задач олимпиадного уровня (с решениями). К сожалению, «Olymon/2010/май» оказался пос­лед­ним выпуском.
В феврале 2009 года предлагалась задача на антье с небольшим под­вод­ным камешком, которая напомнила мне одну из задач в сборнике «А. и м.» (см. задачу 328).
59. Упростите выражение \( ( n \in \mathbb N ) \) \[
A = \Bigant { \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 } .
\tag {59.1}
\]
Решение. При \( n > 1 \) срабатывает оценка из задачника «А. и м.» (фор­му­ла приведена к условию нашей задачи) \[
9n -1 < \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 < 9n .
\tag {59.2}
\] В задаче 328 приводятся два доказательства неравенств (59.2).
Тогда \[
\Bigant { \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 } = 9n-1
\ \mbox {при }
n > 1.
\] При \( n =1 \) значение \( A \) без труда вычисляется вручную, \( A = 5 \) (это и есть подводный камешек).

Ответ: \(
A =
\begin{cases}
5, & \mbox {если } n=1 ,
\\
9n-1, & \mbox {если } n>1 .
\end{cases}
\)


Автор: И.Л. на 19:40
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.