\( \Bigant { \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 } \)

(*) Olymon (The Mathematical Olympiads Correspondence Program, Канада) — ежемесячная подборка интересных математических задач олимпиадного уровня (с решениями). К сожалению, «Olymon/2010/май» оказался пос­лед­ним выпуском.

В феврале 2009 года предлагалась задача на антье с небольшим под­вод­ным камешком, которая напомнила мне одну из задач в сборнике «А. и м.» (см. задачу 328).

59. Упростите выражение \( ( n \in \mathbb N ) \) \[
A = \Bigant { \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 } .
\tag {59.1}
\]

Решение. При \( n > 1 \) срабатывает оценка из задачника «А. и м.» (фор­му­ла приведена к условию нашей задачи) \[
9n -1 < \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 < 9n .
\tag {59.2}
\] В задаче 328 приводятся два доказательства неравенств (59.2).
Тогда \[
\Bigant { \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 } = 9n-1
\ \mbox {при }
n > 1.
\] При \( n =1 \) значение \( A \) без труда вычисляется вручную, \( A = 5 \) (это и есть подводный камешек).

Ответ: \(
A =
\begin{cases}
5, & \mbox {если } n=1 ,
\\
9n-1, & \mbox {если } n>1 .
\end{cases}
\)