На региональном этапе МО Болгария/2004 предлагалась следующая двойная задача (см. P. Boyvalenkov, E. Kolev, O. Mushkarov, N. Nikolov Bulgarian Mathematical Competitions 2003-2006. GIL Publishing House, 2007. ISBN 978-973-9417-86-0).
Доказательство. 1) На мой взгляд, в упомянутой книге приводится не самое простое доказательство. Дело в том, что уравнение (60.1) является уравнением вида \[
f (x) = f ( \ant x ) ,
\ \mbox { где }
f (x) = x^3 - x^2 .
\tag {60.3}
\] На полуинтервалах \( (-\infty, \ 0 ] \) и \( [ 1, \ +\infty ) \) функция \( f (x) \) возрастает, что означает целочисленность решений уравнения (60.3).
На интервале \( ( 0, \ 1 ) \) функция \( f (x) \) принимает отрицательные значения, в то время как функция \( f (\ant x) \) равна \( 0 \).
Может быть, даже проще графический метод решения уравнения (60.3), см. п. 18.2, посвященный как раз уравнениям данного вида.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
2) Выполним равносильные преобразования уравнения (60.2): \[
\ant {x^3} - x ^3 = \ant {x^2} - x^2 ,
\] \[
\mant {x^3} = \mant {x^2} ,
\] \[
\mant {x^3 - x^2} = 0 ,
\] \[
x^3 - x^2 = n ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb Z .
\tag {60.4}
\] Понятно, что уравнение (60.4) имеет бесконечное количество целых решений, например, натуральных значений \( k \), для которых имеет место равенство \(
k^3 - k^2 = n
\) \(
(n \in \mathbb N)
\).
Пусть \( k_0 \) — одно из таких решений. Тогда решения уравнения (60.4) при \( k_0^3 - k_0^2 < n < (k_0+1)^3 - (k_0+1)^2 \) не являются целыми числами, впрочем они не являются и рациональными числами.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
60. (S. Grozdev, S. Doychev) 1) Докажите, что все решения уравнения \[
\ant x ^3 + x^2 = x ^3 + \ant x^2
\tag {60.1}
\] — целые числа.
2) Докажите, что среди решений уравнения \[
\ant {x^3} + x^2 = x ^3 + \ant {x^2}
\tag {60.2}
\] — бесконечное количество иррациональных чисел.
(Второе задание усложнено мной.)
\ant x ^3 + x^2 = x ^3 + \ant x^2
\tag {60.1}
\] — целые числа.
2) Докажите, что среди решений уравнения \[
\ant {x^3} + x^2 = x ^3 + \ant {x^2}
\tag {60.2}
\] — бесконечное количество иррациональных чисел.
Доказательство. 1) На мой взгляд, в упомянутой книге приводится не самое простое доказательство. Дело в том, что уравнение (60.1) является уравнением вида \[
f (x) = f ( \ant x ) ,
\ \mbox { где }
f (x) = x^3 - x^2 .
\tag {60.3}
\] На полуинтервалах \( (-\infty, \ 0 ] \) и \( [ 1, \ +\infty ) \) функция \( f (x) \) возрастает, что означает целочисленность решений уравнения (60.3).
На интервале \( ( 0, \ 1 ) \) функция \( f (x) \) принимает отрицательные значения, в то время как функция \( f (\ant x) \) равна \( 0 \).
Может быть, даже проще графический метод решения уравнения (60.3), см. п. 18.2, посвященный как раз уравнениям данного вида.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
2) Выполним равносильные преобразования уравнения (60.2): \[
\ant {x^3} - x ^3 = \ant {x^2} - x^2 ,
\] \[
\mant {x^3} = \mant {x^2} ,
\] \[
\mant {x^3 - x^2} = 0 ,
\] \[
x^3 - x^2 = n ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb Z .
\tag {60.4}
\] Понятно, что уравнение (60.4) имеет бесконечное количество целых решений, например, натуральных значений \( k \), для которых имеет место равенство \(
k^3 - k^2 = n
\) \(
(n \in \mathbb N)
\).
Пусть \( k_0 \) — одно из таких решений. Тогда решения уравнения (60.4) при \( k_0^3 - k_0^2 < n < (k_0+1)^3 - (k_0+1)^2 \) не являются целыми числами, впрочем они не являются и рациональными числами.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
