«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

21 октября 2015 г.

\( \ant x ^3 + x^2 = x ^3 + \ant x^2 \), \( \ant {x^3} + x^2 = x ^3 + \ant {x^2} \)

На региональном этапе МО Болгария/2004 предлагалась следующая двой­ная задача (см. P. Boyvalenkov, E. Kolev, O. Mushkarov, N. Nikolov Bulgarian Mathematical Competitions 2003-2006. GIL Publishing House, 2007. ISBN 978-973-9417-86-0).
60. (S. Grozdev, S. Doychev) 1) Докажите, что все решения уравнения \[
\ant x ^3 + x^2 = x ^3 + \ant x^2
\tag {60.1}
\] — целые числа.
2) Докажите, что среди решений уравнения \[
\ant {x^3} + x^2 = x ^3 + \ant {x^2}
\tag {60.2}
\] — бесконечное количество иррациональных чисел.
(Второе задание усложнено мной.)
Доказательство. 1) На мой взгляд, в упомянутой книге приводится не самое простое доказательство. Дело в том, что уравнение (60.1) является уравнением вида \[
f (x) = f ( \ant x ) ,
\ \mbox { где }
f (x) = x^3 - x^2 .
\tag {60.3}
\] На полуинтервалах \( (-\infty, \ 0 ] \) и \( [ 1, \ +\infty ) \) функция \( f (x) \) возрастает, что означает целочисленность решений уравнения (60.3).
На интервале \( ( 0, \ 1 ) \) функция \( f (x) \) принимает отрицательные значения, в то время как функция \( f (\ant x) \) равна \( 0 \).
Может быть, даже проще графический метод решения уравнения (60.3), см. п. 18.2, посвященный как раз уравнениям данного вида.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
2) Выполним равносильные преобразования уравнения (60.2): \[
\ant {x^3} - x ^3 = \ant {x^2} - x^2 ,
\] \[
\mant {x^3} = \mant {x^2} ,
\] \[
\mant {x^3 - x^2} = 0 ,
\] \[
x^3 - x^2 = n ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb Z .
\tag {60.4}
\] Понятно, что уравнение (60.4) имеет бесконечное количество целых решений, например, натуральных значений \( k \), для которых имеет место равенство \(
k^3 - k^2 = n
\) \(
(n \in \mathbb N)
\).
Пусть \( k_0 \) — одно из таких решений. Тогда решения уравнения (60.4) при \( k_0^3 - k_0^2 < n < (k_0+1)^3 - (k_0+1)^2 \) не являются целыми числами, впрочем они не являются и рациональными числами.
  \( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 17:19
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.