«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

19 октября 2015 г.

\( \ant { \left( 44 + \sqrt {2011} \right)^{2012} } \ \vdots \ 3 \)

Ниже приводится задача (1/4, 2-й тур, 11-й класс), которая предлагалась на «Отборе на всеукраинскую олимпиаду по математике» 2011 года.
58. Докажите, что \(
\ant { \left( 44 + \sqrt {2011} \right)^{2012} }
\) делится на 3.
Доказательство. В задачнике «А. и м.» рассматриваются аналогичные за­да­ния (см. задачи 126-130), демонстрирующие типовой способ «ухода» от антье, а с делимостью на 3 придется чуть повозиться. \[
\begin{multline*}
\ant { \left( 44 + \sqrt {2011} \right)^{2012} } =
\\
= \Bigant {
\underbrace{
\left( 44 + \sqrt {2011} \right)^{2012} +
\left( 44 - \sqrt {2011} \right)^{2012}
}_{\mbox{целое число } \displaystyle A} -
\underbrace{
\left( 44 - \sqrt {2011} \right)^{2012}
}_{\displaystyle 0 < \alpha < 1}
} =
\\
= A + \ant { - \alpha } = A - 1 .
\end{multline*}
\] \( A \) — целое число, поскольку сокращаются все иррациональные слагаемые в сумме двух выражений, которые являются сопряженными в равных чет­ных степенях.
\( 0 < \alpha < 1 \), поскольку \( 44 < \sqrt {2011} < 45 \).
Разберемся с делимостью. Здесь пригодится арифметика сравнений: \[
44^{2n} \equiv 1 \pmod 3 ,
\] \[
2011^n \equiv 1 \pmod 3
\] для любых \( n \in \mathbb N \).
Тогда после отбрасывания всех множителей, равных \( 1 \) по модулю \(  3\), по­лу­чим \[
A \equiv
2 \cdot \sum_{k=0}^{1006}
C_{2012}^{2k}
\pmod 3 .
\] Воспользуемся формулой \(
C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k
\). \[
\sum_{k=0}^{1006}
C_{2012}^{2k} =
1 +
\sum_{k=1}^{1005}
C_{2012}^{2k} +
1 =
1 + \sum_{k=1}^{2010}
C_{2011}^k +
1 =
2^{2011} .
\] Таким образом, \[
\ant { \left( 44 + \sqrt {2011} \right)^{2012} } =
A -1 \equiv
2 \cdot 2^{2011} -1 \pmod 3 .
\] \( 2 \) в четной степени равняется \( 1 \) по модулю 3, что завершает до­ка­за­тель­ст­во. \( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 21:35
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.