Сума цифр числа \( \ant {\dfrac{5152535455 \ldots 979899}{50}} \)

(*) Предлагаю решить несложную разминочную задачу (Online Math Open/2014 Fall).

47. Вычислите сумму десятичных цифр числа
\[
\ant {\dfrac{5152535455 \ldots 979899}{50}} .
\]

Решение. Введем обозначение \[
A = 5152535455 \ldots 979899 .
\] Целую часть \(
\ant { \frac A {50} }
\) будет проще найти, если преобразовать к виду \(
\ant { \frac {2A} {100} } .
\) Представим \( A \) в виде суммы \[
A = \underbrace{5050 \ldots 50}_{49 \text{ пар «$50$»}} +
0102030405 \ldots 474849 .
\] Тогда \[
2A = \underbrace{1010 \ldots 10}_{49 \text{ пар «$10$»}} 0 +
0204060810 \ldots 949698 =
\] \[
=
10305070911 \ldots 959798 .
\] Осталось вычислить сумму цифр числа \(
10305070911 \ldots 9597 .
\) Небольшая хитрость — найдем сумму цифр нечетных чисел от \( 1 \) до \(  99 \) и вычтем 18.

Ответ: \( 457 . \)

Примечание. В общем-то, предложенный способ вычисления \( 2A \) (я назвал бы такой способ «на пальцах») вполне подходит для разминочной задачи, но думаю, что стоит привести более строгий алгебраический вывод \( 2A : \) \[
\begin{multline*}
A =
\sum_{n=1}^{49} (100-n) \cdot 100^{n-1} =
\\
=
50 \cdot
\sum_{n=1}^{49} 100^{n-1} +
\sum_{n=1}^{49} (50-n) \cdot 100^{n-1} ,
\end{multline*}
\] \[
\begin{multline*}
2A =
100 \cdot
\sum_{n=1}^{49} 100^{n-1} +
\sum_{n=1}^{49} (100-2n) \cdot 100^{n-1} =
\\
=
\sum_{n=1}^{50} 100^{n-1} - 1 +
\sum_{n=1}^{50} (100-2n) \cdot 100^{n-1} =
\\
\sum_{n=1}^{50} (101-2n) \cdot 100^{n-1} - 1 =
\\
10305070911 \ldots 959799 - 1 .
\end{multline*}
\]