\( \ant { \dfrac 3 {x-1} } = \dfrac 3 {\ant x-1} \)

(*) В предыдущем сообщении высказано сожаление, что при рассмотрении уравнения (56.3) не удалось применить идеи, приводимые в задачнике «А. и м.» для решения уравнений вида \(
\ant { f(x) } = f( \ant x )
\), см. п. 12.5. сборника. Пришлось подогнать условие задания, чтобы воспользоваться теми идеями.

57. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac 3 {x-1} } =
\dfrac 3 {\ant x-1} .
\tag {57.1}
\]

Решение. Уравнение (57.1) решается ... в уме!
Понятно, что (57.1) является уравнением вида \[
\ant { f(x) } = f( \ant x ) ,
\ \mbox { где } f(x) = \dfrac 3 {x-1} ,
\] которая монотонно убывает на каждом из двух интервалов: \(
( -\infty, \ 1 )
\) и \(
( 1, \ +\infty )
\). А согласно выводам, приведенным в п. 12.5. за­дач­ни­ка «А. и м.», решениями (57.1) являются целые значения \( x \), при которых монотонно убывающая функция \( f(x) \) принимает целые значения. Все!

Ответ: \(
-2,
\ 0,
\ 2,
\ 4
\).

Примечание. Конечно, в уравнении (57.1) можно было предложить более навороченную функцию вместо \(
f(x) = \dfrac 3 {x-1}
\), но мне хотелось на простом примере показать особенности решения уравнений вида \(
\ant { f(x) } = f( \ant x )
\).