«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

19 октября 2015 г.

\( \ant { \dfrac 1{1-x} } + \ant { \dfrac {4-x}{3-3x} } + \ant { \dfrac {5-2x}{3-3x} } = \dfrac 3 {1 - \ant x} \)

Еще одна задача из Румынии (олимпиада этого года). При решении по­тре­бу­ет­ся «увидеть» одну известную формулу на антье и проявить ак­ку­рат­ность при получении ответов.
56. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac {4-x}{3-3x} } +
\ant { \dfrac {5-2x}{3-3x} } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.1}
\]
Решение. Преобразуем исходное уравнение. \[
\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac13 } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac23 } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.2}
\] Во-первых, согласно тождеству Эрмита (С31) левая часть (56.2) равна
\[
\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac13 } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac23 } =
\ant { \dfrac 3{1-x} } . \]
Значит, уравнение (56.2) примет вид \[
\ant { \dfrac 3{1-x} } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.3}
\] Во-вторых, поскольку правая часть — целое число, то \[
\ant x \in \{
-2, \ 0, \ 2, \ 4
\} . \] Тогда (56.3) сводится к совокупности четырех систем \[
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
\ant x = -2 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = 1 ,
\end{cases}
&
\begin{cases}
\ant x = 0 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = 3 ,
\end{cases}
\\[8pt]
\begin{cases}
\ant x = 2 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = -3 ,
\end{cases}
&
\begin{cases}
\ant x = 4 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = -1 .
\end{cases}
\end{array}
\] Каждая система равносильна паре соответствующих двойных неравенств. Первая система выглядит таким образом: \[
\begin{cases}
-2 \leqslant x < -1 ,
\\
1 \leqslant \dfrac 3{1-x} < 2 .
\end{cases}
\] Дальнейшее не интересно. Завершите решение самостоятельно.

Ответ: \(
\left[ -2, \ -1 \right) \cup
\left[ 0, \ \dfrac 14 \right) \cup
\left[ 2, \ \dfrac 52 \right) \cup
\left[ 4, \ 5 \right)
\).

Примечание. В сборнике «А. и м.» рассматриваются уравнения вида \(
\ant { f(x) } = f ( \ant x )
\) (см. п.12.5.), но при решении (56.3) не удастся вос­поль­зо­вать­ся особенностью решения уравнений такого вида. Тем не менее, ре­ко­мен­ду­ем ознакомиться в приводимыми рассуждениями в задачнике — может пригодиться.


Автор: И.Л. на 02:42
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.