Еще одна задача из Румынии (олимпиада этого года). При решении потребуется «увидеть» одну известную формулу на антье и проявить аккуратность при получении ответов.
\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac13 } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac23 } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.2}
\] Во-первых, согласно тождеству Эрмита (С31) левая часть (56.2) равна
\ant { \dfrac 3{1-x} } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.3}
\] Во-вторых, поскольку правая часть — целое число, то \[
\ant x \in \{
-2, \ 0, \ 2, \ 4
\} . \] Тогда (56.3) сводится к совокупности четырех систем \[
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
\ant x = -2 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = 1 ,
\end{cases}
&
\begin{cases}
\ant x = 0 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = 3 ,
\end{cases}
\\[8pt]
\begin{cases}
\ant x = 2 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = -3 ,
\end{cases}
&
\begin{cases}
\ant x = 4 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = -1 .
\end{cases}
\end{array}
\] Каждая система равносильна паре соответствующих двойных неравенств. Первая система выглядит таким образом: \[
\begin{cases}
-2 \leqslant x < -1 ,
\\
1 \leqslant \dfrac 3{1-x} < 2 .
\end{cases}
\] Дальнейшее не интересно. Завершите решение самостоятельно.
Ответ: \(
\left[ -2, \ -1 \right) \cup
\left[ 0, \ \dfrac 14 \right) \cup
\left[ 2, \ \dfrac 52 \right) \cup
\left[ 4, \ 5 \right)
\).
Примечание. В сборнике «А. и м.» рассматриваются уравнения вида \(
\ant { f(x) } = f ( \ant x )
\) (см. п.12.5.), но при решении (56.3) не удастся воспользоваться особенностью решения уравнений такого вида. Тем не менее, рекомендуем ознакомиться в приводимыми рассуждениями в задачнике — может пригодиться.
56. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac {4-x}{3-3x} } +
\ant { \dfrac {5-2x}{3-3x} } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.1}
\]
Решение. Преобразуем исходное уравнение. \[\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac {4-x}{3-3x} } +
\ant { \dfrac {5-2x}{3-3x} } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.1}
\]
\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac13 } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac23 } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.2}
\] Во-первых, согласно тождеству Эрмита (С31) левая часть (56.2) равна
\[
\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac13 } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac23 } =
\ant { \dfrac 3{1-x} } . \]
Значит, уравнение (56.2) примет вид \[\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac13 } +
\ant { \dfrac 1{1-x} + \dfrac23 } =
\ant { \dfrac 3{1-x} } . \]
\ant { \dfrac 3{1-x} } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.3}
\] Во-вторых, поскольку правая часть — целое число, то \[
\ant x \in \{
-2, \ 0, \ 2, \ 4
\} . \] Тогда (56.3) сводится к совокупности четырех систем \[
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
\ant x = -2 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = 1 ,
\end{cases}
&
\begin{cases}
\ant x = 0 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = 3 ,
\end{cases}
\\[8pt]
\begin{cases}
\ant x = 2 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = -3 ,
\end{cases}
&
\begin{cases}
\ant x = 4 ,
\\
\ant { \dfrac 3{1-x} } = -1 .
\end{cases}
\end{array}
\] Каждая система равносильна паре соответствующих двойных неравенств. Первая система выглядит таким образом: \[
\begin{cases}
-2 \leqslant x < -1 ,
\\
1 \leqslant \dfrac 3{1-x} < 2 .
\end{cases}
\] Дальнейшее не интересно. Завершите решение самостоятельно.
Ответ: \(
\left[ -2, \ -1 \right) \cup
\left[ 0, \ \dfrac 14 \right) \cup
\left[ 2, \ \dfrac 52 \right) \cup
\left[ 4, \ 5 \right)
\).
Примечание. В сборнике «А. и м.» рассматриваются уравнения вида \(
\ant { f(x) } = f ( \ant x )
\) (см. п.12.5.), но при решении (56.3) не удастся воспользоваться особенностью решения уравнений такого вида. Тем не менее, рекомендуем ознакомиться в приводимыми рассуждениями в задачнике — может пригодиться.
