\( a_{n+1} = a_n + \ant { \sqrt { a_n } + \frac12 } , \) \( b_{n+1} = b_n + \ant { \frac {n+1} 2 } \)

(*) При просмотре сообщений на тему функциональных уравнений в форуме http://artofproblemsolving.com мне встретился пост, в котором приводится функциональное уравнение, которое я отнес бы к «нечестным». Дело в том, что функции вида \(
f : \mathbb N \rightarrow \mathbb N
\) (или \(
f : \mathbb N \rightarrow \mathbb R
\)) есть не что иное, как числовые последовательности.
Упомянутый пост эксплуатирует числовую последовательность, которая фигурирует в задаче 359 (Nordic/2013) в «А. и м.», см. также задачу 347. Ко мне пришла идея объединить эти задачи.

54. Докажите идентичность числовых последовательностей \(
\left\{ a_n \right\} \) и \(
\left\{ b_n \right\} \), определяемых следующим образом \(
( n \in \mathbb N )
\): \[
a_1 = 1,
\ \ a_{n+1} = a_n + \ant { \sqrt { a_n } + \frac12 } ,
\tag {54.1}
\] \[
b_1 = 1,
\ \ b_{n+1} = b_n + \ant { \frac {n+1} 2 } .
\tag {54.2}
\]

Доказательство. Первый способ доказательства заключается в использовании одинаковой для обеих последовательностей формулы \( n \)-го члена \[
a_n = b_n = 1 + \Bigant { \frac n2 } \cdot \Bigant { \frac {n+1}2 } =
1 + \Bigant { \frac {n^2}4 } .
\tag {54.3}
\] Подробности доказательств см. в задачах 347 и 359.

Второй способ доказательства основан на вербально-описательном задании последовательностей \(
\left\{ a_n \right\} \) и \(
\left\{ b_n \right\} \) \(
( m \in \mathbb N )
\): \[
a_{2m+1} - a_{2m} = a_{2m} - a_{2m-1} = m ,
\tag {54.4}
\] \[
b_{2m+1} - b_{2m} = b_{2m} - b_{2m-1} = m .
\tag {54.5}
\] Соответствие формул (54.4) последовательности \(
\left\{ a_n \right\} \) можно доказать, например, с помощью метода математической индукции.
Формулы (54.5) несложно выводятся из (54.2).
  \( \color{gray}{\blacksquare} \)