«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

9 октября 2015 г.

\( a_{n+1} = a_n + \ant { \sqrt { a_n } + \frac12 } , \) \( b_{n+1} = b_n + \ant { \frac {n+1} 2 } \)

(*) При просмотре сообщений на тему функциональных уравнений в форуме http://artofproblemsolving.com мне встретился пост, в котором приводится функциональное уравнение, которое я отнес бы к «нечестным». Дело в том, что функции вида \(
f : \mathbb N \rightarrow \mathbb N
\) (или \(
f : \mathbb N \rightarrow \mathbb R
\)) есть не что иное, как числовые последовательности.
Упомянутый пост эксплуатирует числовую последовательность, которая фигурирует в задаче 359 (Nordic/2013) в «А. и м.», см. также задачу 347. Ко мне пришла идея объединить эти задачи.
54. Докажите идентичность числовых последовательностей \(
\left\{ a_n \right\} \) и \(
\left\{ b_n \right\} \), определяемых следующим образом \(
( n \in \mathbb N )
\): \[
a_1 = 1,
\ \ a_{n+1} = a_n + \ant { \sqrt { a_n } + \frac12 } ,
\tag {54.1}
\] \[
b_1 = 1,
\ \ b_{n+1} = b_n + \ant { \frac {n+1} 2 } .
\tag {54.2}
\]
Доказательство. Первый способ доказательства заключается в использовании одинаковой для обеих последовательностей формулы \( n \)-го члена \[
a_n = b_n = 1 + \Bigant { \frac n2 } \cdot \Bigant { \frac {n+1}2 } =
1 + \Bigant { \frac {n^2}4 } .
\tag {54.3}
\] Подробности доказательств см. в задачах 347 и 359.

Второй способ доказательства основан на вербально-описательном задании последовательностей \(
\left\{ a_n \right\} \) и \(
\left\{ b_n \right\} \) \(
( m \in \mathbb N )
\): \[
a_{2m+1} - a_{2m} = a_{2m} - a_{2m-1} = m ,
\tag {54.4}
\] \[
b_{2m+1} - b_{2m} = b_{2m} - b_{2m-1} = m .
\tag {54.5}
\] Соответствие формул (54.4) последовательности \(
\left\{ a_n \right\} \) можно доказать, например, с помощью метода математической индукции.
Формулы (54.5) несложно выводятся из (54.2).
  \( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 21:19
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.