\( n = \bigant { a_n \sqrt2 } + \bigant { b_n \sqrt3 } \)

Продолжение вчерашнего сообщения.
На основе задачи 61 удалось сделать новую задачу.

63. Определите формулы \( n \)-го члена целочисленных по­сле­до­ва­тель­нос­тей \(
\bigl\{ a_n \bigr\} \) и \(
\bigl\{ b_n \bigr\} \) \(
\bigl( b_n \in \{ 0, \, 1 \} \bigr)
\), для которых выполняется равенство \[
n = \bigant { a_n \sqrt2 } + \bigant { b_n \sqrt3 }
\ \mbox { при } \forall n \in \mathbb N .
\tag {63.1}
\]

\( \sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } > 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \ant { \dfrac n {\sqrt2} } = \ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } \)

Все-таки необычные утверждения иногда встречаются в теме антье и ман­тисса. Еще одно из таких. По-моему, равносильность отнюдь не очевидна.

62. Пусть \( n \in \mathbb N \). Докажите, что \[ \sqrt2 \cdot \mant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } > 1
\quad \Longleftrightarrow \quad
\ant { \dfrac n {\sqrt2} } =
\ant { \dfrac {n+1} {\sqrt2} } .
\tag {62.1}
\]

\( n = \bigant { a \sqrt2 } + \bigant { b \sqrt3 } \)

(*) Предварительные списки олимпиадных задач, из которых организаторы от­би­ра­ют задания для олимпиады, — подборки интереснейших задач, под­час мало уступающие основным. Следующая задача из шортлиста JBMO/2010 (The 14th Junior Balkan Mathematical Olympiad, Румыния, 2010 год).

61. Докажите, что для любого целого \( n \) найдутся целые \( a \) и \( b \) такие, что будет выполняться равенство \[
n = \bigant { a \sqrt2 } + \bigant { b \sqrt3 } .
\tag {61.1}
\]

\( \ant x ^3 + x^2 = x ^3 + \ant x^2 \), \( \ant {x^3} + x^2 = x ^3 + \ant {x^2} \)

На региональном этапе МО Болгария/2004 предлагалась следующая двой­ная задача (см. P. Boyvalenkov, E. Kolev, O. Mushkarov, N. Nikolov Bulgarian Mathematical Competitions 2003-2006. GIL Publishing House, 2007. ISBN 978-973-9417-86-0).

60. (S. Grozdev, S. Doychev) 1) Докажите, что все решения уравнения \[
\ant x ^3 + x^2 = x ^3 + \ant x^2
\tag {60.1}
\] — целые числа.
2) Докажите, что среди решений уравнения \[
\ant {x^3} + x^2 = x ^3 + \ant {x^2}
\tag {60.2}
\] — бесконечное количество иррациональных чисел.

(Второе задание усложнено мной.)

\( \Bigant { \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 } \)

(*) Olymon (The Mathematical Olympiads Correspondence Program, Канада) — ежемесячная подборка интересных математических задач олимпиадного уровня (с решениями). К сожалению, «Olymon/2010/май» оказался пос­лед­ним выпуском.

В феврале 2009 года предлагалась задача на антье с небольшим под­вод­ным камешком, которая напомнила мне одну из задач в сборнике «А. и м.» (см. задачу 328).

59. Упростите выражение \( ( n \in \mathbb N ) \) \[
A = \Bigant { \bigl( \sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1} \, \bigr)^2 } .
\tag {59.1}
\]

\( \ant { \left( 44 + \sqrt {2011} \right)^{2012} } \ \vdots \ 3 \)

Ниже приводится задача (1/4, 2-й тур, 11-й класс), которая предлагалась на «Отборе на всеукраинскую олимпиаду по математике» 2011 года.

58. Докажите, что \(
\ant { \left( 44 + \sqrt {2011} \right)^{2012} }
\) делится на 3.

\( \ant { \dfrac 3 {x-1} } = \dfrac 3 {\ant x-1} \)

(*) В предыдущем сообщении высказано сожаление, что при рассмотрении уравнения (56.3) не удалось применить идеи, приводимые в задачнике «А. и м.» для решения уравнений вида \(
\ant { f(x) } = f( \ant x )
\), см. п. 12.5. сборника. Пришлось подогнать условие задания, чтобы воспользоваться теми идеями.

57. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac 3 {x-1} } =
\dfrac 3 {\ant x-1} .
\tag {57.1}
\]

\( \ant { \dfrac 1{1-x} } + \ant { \dfrac {4-x}{3-3x} } + \ant { \dfrac {5-2x}{3-3x} } = \dfrac 3 {1 - \ant x} \)

Еще одна задача из Румынии (олимпиада этого года). При решении по­тре­бу­ет­ся «увидеть» одну известную формулу на антье и проявить ак­ку­рат­ность при получении ответов.

56. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac 1{1-x} } +
\ant { \dfrac {4-x}{3-3x} } +
\ant { \dfrac {5-2x}{3-3x} } =
\dfrac 3 {1 - \ant x} .
\tag {56.1}
\]

\( x^2 + 2 \ant x \mant x + 3 \mant x ^2 = 4 \)

(*) После знакомства учащихся с а. и м. можно предложить им следующее задание.

55. (Румыния/2015) Решите уравнение \[
x^2 + 2 \ant x \mant x + 3 \mant x ^2 = 4.
\]

\( a_{n+1} = a_n + \ant { \sqrt { a_n } + \frac12 } , \) \( b_{n+1} = b_n + \ant { \frac {n+1} 2 } \)

(*) При просмотре сообщений на тему функциональных уравнений в форуме http://artofproblemsolving.com мне встретился пост, в котором приводится функциональное уравнение, которое я отнес бы к «нечестным». Дело в том, что функции вида \(
f : \mathbb N \rightarrow \mathbb N
\) (или \(
f : \mathbb N \rightarrow \mathbb R
\)) есть не что иное, как числовые последовательности.
Упомянутый пост эксплуатирует числовую последовательность, которая фигурирует в задаче 359 (Nordic/2013) в «А. и м.», см. также задачу 347. Ко мне пришла идея объединить эти задачи.

54. Докажите идентичность числовых последовательностей \(
\left\{ a_n \right\} \) и \(
\left\{ b_n \right\} \), определяемых следующим образом \(
( n \in \mathbb N )
\): \[
a_1 = 1,
\ \ a_{n+1} = a_n + \ant { \sqrt { a_n } + \frac12 } ,
\tag {54.1}
\] \[
b_1 = 1,
\ \ b_{n+1} = b_n + \ant { \frac {n+1} 2 } .
\tag {54.2}
\]

Два функциональных уравнения

(*) В форуме http://artofproblemsolving.com нашлась еще пара (первое, второе) интересных, но не сложных функциональных уравнений (к сожалению, авторы не указаны).

52. Определите все функции \(
f : \mathbb R_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb R
\) такие, что для любых \( x \in \mathbb R_{\geqslant 0} \) выполняется равенство \[
x = f (x) + \sqrt { f^2 \bigl( \ant x \bigr) + f^2 \bigl( \mant x \bigr) }
\] $\bigl($здесь и далее \( f^2 (z) = f (z) \cdot f (z) \)$\bigr)$.

53. Определите все функции \(
f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R
\) такие, что для любых \( x \in \mathbb R \) выполняется равенство \[
f \bigl( \ant x \bigr) + f \bigl( \mant x \bigr) = 2 f (x) - x^2 .
\]

\( \bigant { f (x+y) } = f^2 (x+y) + f (x) + f (y) \)

(*) Второе (первое — см. задачу 33) функциональное уравнение в блоге, которое опубликовано в форуме http://artofproblemsolving.com.

51. (A. Hossein) Определите все функции \( f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \) такие, что для любых \( x, \, y \in \mathbb R \) выполняется равенство \[
\bigant { f (x+y) } =
f^2 (x+y) + f (x) + f (y)
\tag {51.1}
\] $\bigl($здесь и далее \( f^2 (z) = f (z) \cdot f (z) \)$\bigr)$.

\( x_n = \sum_{i=1}^k\limits \ant {na_i+b_i} \)

На олимпиаде APMO/2013 (Asian Pacific Mathematics Olympiad) была и вторая задача на антье и мантиссу (3-я задача из пяти).

50. Задана бесконечная числовая последовательность \(
\left\{ x_n \right\}
\) \[
x_n =
\sum_{i=1}^k \ant {na_i+b_i} ,
\] где \( k \in \mathbb N \), \(
a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_k, \,
b_1, \, b_2, \, \ldots, \, b_k \in \mathbb R
\). Докажите, что если \(
\left\{ x_n \right\}
\) — арифметическая прогрессия, то \(
\sum_{i=1}^k\limits a_i
\) — целое число.

\( \dfrac {n^2+1} {\bigant{\sqrt n}^2+2} \)

Интересная задача предлагалась на олимпиаде APMO/2013 (Asian Pacific Mathematics Olympiad), 2-ая задача из пяти. Привожу свое решение, по-моему, более простое по сравнению с официальным.

49. Определите все натуральные \( n \) такие, что дробь \[
\dfrac {n^2+1} {\bigant{\sqrt n}^2+2}
\tag {49.1}
\] будет целым числом.

\( \dfrac n m = \Bigant { \sqrt [\scriptstyle 3] {n^2} } + \Bigant { \sqrt n } + 1 \)

Следующая задача предлагалась первой из трех на конкурсе The Stars Of Mathematics (2008, 1-ый день, Румыния).

48. (C. Lupu, D. Schwarz) Докажите, что для любого натурального \( m \) уравнение относительно натурального \( n \) \[
\dfrac n m =
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle 3 \, ] {n^2} } + \Bigant { \sqrt n } + 1
\tag {48.1}
\] имеет хотя бы одно решение.

Сума цифр числа \( \ant {\dfrac{5152535455 \ldots 979899}{50}} \)

(*) Предлагаю решить несложную разминочную задачу (Online Math Open/2014 Fall).

47. Вычислите сумму десятичных цифр числа
\[
\ant {\dfrac{5152535455 \ldots 979899}{50}} .
\]

\( \bigl\{ 1, \, 2, \, 3, \, 3, \, 4, \, 4, \, 4, \, 5, \, 5, \, 5, \, 5, \, 5, \, \ldots, \, \underbrace { m, \, m, \, \ldots, \, m }_{F_m \text { элементов}}, \, \ldots \bigr\} \)

(*) Вывод формулы \( n \)-го члена последовательности, которая задается вербально, можно отнести к самым математическим задачам, потому что это задание — на формализацию в виде некоторого алгебраического выражения описанной лишь словами целочисленной закономерности.

46. \( \left\{ a_n \right\} \) — неубывающая числовая последовательность, в которой каждое натуральное число \( m \) повторяется \( F_m \) раз, где \( F_m \) — \( m \)-ое число Фибоначчи: \[
\left\{ a_n \right\} =
\bigl\{
1, \, 2, \, 3, \, 3, \, 4, \, 4, \, 4, \, 5, \, 5, \, 5, \, 5, \, 5, \, \ldots, \,
\underbrace {
m, \, m, \, \ldots, \, m
}_{
F_m \text { элементов}
}, \, \ldots
\bigr\} .
\] Выведите формулу \( n \)-го элемента этой последовательности.