Ш. Хомс говорил, что «это дело на одну трубку». Поскольку в наше время все пекутся о своем здоровье, то следующее задание — «это задача на одну чашку кофе» (1-ая задача из шести предлагавшихся на USAMO/1997).
a \in \mathbb R \setminus \mathbb Q
\) не должно быть в ответе.
Пусть \( a \in \mathbb Q . \) Значит, число \( a \) представимо в виде обыкновенной дроби \( \dfrac {a_1}{a_0} , \) где \( a_1 < a_0 \) и \( a_0, \, a_1 \in \mathbb N . \) Обычное в таких случаях условие несократимости дроби является здесь (и далее) необязательным.
Утверждается, что если \( x_0, \) \( x_1, \, \ldots , \) \( x_{n-1} \) — ненулевые члены последовательности \( \{ x_n \} , \) то \( n \)-ый элемент представим в виде обыкновенной дроби \[
x_n = \dfrac {a_{n+1}}{a_n},
\ \mbox { где }
0 \leqslant a_{n+1} < a_n .
\tag {42.2}
\] Обратите внимание, \( x_n \) может стать и нулем.
Воспользуемся методом математической индукции. Случай \( n =0 \) рассмотрен выше, \( x_0 \) — не нуль. Докажем индукционный переход. Пусть при \( n = k \) имеет место представление (42.2). Вычислим \( x_{k+1} \) (понятно, что предполагается \( x_k \not= 0 \)). \[
x_{k+1} =
\mant {\frac{p_{k+1}}{x_k}} =
\mant {\frac{p_{k+1} a_k}{a_{k+1}}} =
\frac {a_{k+2}} {a_{k+1}} ,
\] где по определению мантиссы \( p_{k+1} a_k \equiv a_{k+2} \pmod {a_{k+1}} , \) то есть \(
0 \leqslant a_{k+2} < a_{k+1} .
\)
Следовательно, последовательность \( \{ x_n \} \) выглядит в соответствии с (42.2) таким образом: \[
\left\{
\dfrac {a_1}{a_0} ,
\ \dfrac {a_2}{a_1} ,
\ \ldots ,
\ \dfrac {a_m}{a_{m-1}} ,
\ 0, \ 0, \ \ldots
\right\} ,
\] где \( 0 < m < a_0 - 1 . \) То есть, начиная с номера \( n = a_0 - 1 , \) или даже c меньшего номера, размещаются элементы \( x_n = 0 . \)
Ответ: \( a \in \mathbb Q . \)
42. Пусть \( p_n \) — \( n \)-ое простое число, \( a \in \mathbb R_{(0, \, 1)} . \) Задана числовая последовательность \( \{ x_n \} : \) \[
x_0 = a,
\quad
x_n =
\left\{
\begin{array}{cl}
0 , & \mbox {если } x_{n-1} = 0 ,
\\
\mant {\frac{p_n}{x_{n-1}}} , & \mbox {иначе .}
\end{array}
\right.
\tag {42.1}
\] Определите все значения \( a \) такие, что, начиная с некоторого номера, члены последовательности \( \{ x_n \} \) равны \( 0 . \)
Решение. Если \( a \) — иррациональное число, то все \( x_n \) также будут иррациональными числами. Значит, \(x_0 = a,
\quad
x_n =
\left\{
\begin{array}{cl}
0 , & \mbox {если } x_{n-1} = 0 ,
\\
\mant {\frac{p_n}{x_{n-1}}} , & \mbox {иначе .}
\end{array}
\right.
\tag {42.1}
\] Определите все значения \( a \) такие, что, начиная с некоторого номера, члены последовательности \( \{ x_n \} \) равны \( 0 . \)
a \in \mathbb R \setminus \mathbb Q
\) не должно быть в ответе.
Пусть \( a \in \mathbb Q . \) Значит, число \( a \) представимо в виде обыкновенной дроби \( \dfrac {a_1}{a_0} , \) где \( a_1 < a_0 \) и \( a_0, \, a_1 \in \mathbb N . \) Обычное в таких случаях условие несократимости дроби является здесь (и далее) необязательным.
Утверждается, что если \( x_0, \) \( x_1, \, \ldots , \) \( x_{n-1} \) — ненулевые члены последовательности \( \{ x_n \} , \) то \( n \)-ый элемент представим в виде обыкновенной дроби \[
x_n = \dfrac {a_{n+1}}{a_n},
\ \mbox { где }
0 \leqslant a_{n+1} < a_n .
\tag {42.2}
\] Обратите внимание, \( x_n \) может стать и нулем.
Воспользуемся методом математической индукции. Случай \( n =0 \) рассмотрен выше, \( x_0 \) — не нуль. Докажем индукционный переход. Пусть при \( n = k \) имеет место представление (42.2). Вычислим \( x_{k+1} \) (понятно, что предполагается \( x_k \not= 0 \)). \[
x_{k+1} =
\mant {\frac{p_{k+1}}{x_k}} =
\mant {\frac{p_{k+1} a_k}{a_{k+1}}} =
\frac {a_{k+2}} {a_{k+1}} ,
\] где по определению мантиссы \( p_{k+1} a_k \equiv a_{k+2} \pmod {a_{k+1}} , \) то есть \(
0 \leqslant a_{k+2} < a_{k+1} .
\)
Следовательно, последовательность \( \{ x_n \} \) выглядит в соответствии с (42.2) таким образом: \[
\left\{
\dfrac {a_1}{a_0} ,
\ \dfrac {a_2}{a_1} ,
\ \ldots ,
\ \dfrac {a_m}{a_{m-1}} ,
\ 0, \ 0, \ \ldots
\right\} ,
\] где \( 0 < m < a_0 - 1 . \) То есть, начиная с номера \( n = a_0 - 1 , \) или даже c меньшего номера, размещаются элементы \( x_n = 0 . \)
Ответ: \( a \in \mathbb Q . \)
