\( \mbox {НОД} \, (n, \, \ant {n\sqrt2}) > \sqrt[\scriptstyle 4 \, ] {8-\varepsilon} \cdot \sqrt n \)

Ниже приводится вторая часть задания, которое предлагалось на XIII Brazilian Olympic Revenge (2014).

37. Докажите, что неравенство \[
\mbox {НОД} \, (n, \, \ant {n\sqrt2}) > \sqrt[\scriptstyle 4 \, ] {7,99}
\cdot \sqrt n
\] выполняется для бесконечного количества натуральных значений \( n . \)

Доказательство. Давайте докажем более сильное утверждение: неравенство \[
\mbox {НОД} \, (n, \, \ant {n\sqrt2}) > \sqrt[\scriptstyle 4 \, ] {8-\varepsilon} \cdot \sqrt n
\tag {37.1}
\] должно выполняться для бесконечного количества \( n \in \mathbb N \) при сколь угодно малых значениях \(
\varepsilon > 0 .
\)
Воспользуемся следующим математическим фактом: уравнение \(
2x^2 - 1 = y^2
\) имеет бесконечное количество решений в натуральных числах, см. п. А.19. в Приложении А. «Некоторые факты из теории чисел и алгебры» сборника (данное уравнение — частный случай уравнения Пелля). Одна из бесконечных серий решений уравнения имеет вид \[
\bigl( x_{i+1} , \ y_{i+1} \bigr) =
\bigl( 3 x_i + 2 y_i , \ 4 x_i + 3 y_i \bigr) ,
\tag {37.2}
\] где \(
i \in \mathbb N ,
\ \bigl( x_1 , \ y_1 \bigr) = \bigl( 1 , \ 1 \bigr) .
\) Отметим, что \(
x_i \) и \( y_i \) — взаимно простые числа.
Рассмотрим две числовых последовательности \( \bigl\{ a_i \bigr\} \) и \( \bigl\{ b_i \bigr\} : \) \[
a_i = 2 x_i y_i ,
\ b_i = 2 y_i^2
\ \ \bigl( i \in \mathbb N \bigr) ,
\] где \( x_i \) и \( y_i \) берутся из (37.2), значит, \(
2x_i^2 - 1 = y_i^2 .
\) Очевидно, что \(
\mbox {НОД} \, ( a_i, \ b_i ) = 2 y_i .
\) Нетрудно доказать цепочку неравенств: \[
a_i^2 < b_i^2 < 2 a_i^2 < \bigl( b_i + 1 \bigr)^2 .
\tag {37.3}
\] Тогда \( b_i = \bigant { a_i \sqrt2 } . \) Докажем (37.1) при \(
n = a_i ,
\) \(
\ant {n\sqrt2} = b_i :
\) \[
2 y_i > \sqrt[\scriptstyle 4 \, ] {8-\varepsilon}
\sqrt { 2 x_i y_i } ,
\tag {37.4}
\] \[
16 y_i^4 > \bigl( 8-\varepsilon \bigr) \cdot 4 x_i^2 y_i^2 ,
\] \[
4 y_i^2 > \bigl( 8-\varepsilon \bigr) \cdot x_i^2 ,
\] \[
4 y_i^2 > 8 x_i^2 - \varepsilon x_i^2 ,
\] \[
4 y_i^2 > 4 y_i^2 + 4 - \varepsilon x_i^2 ,
\] \[
\varepsilon x_i^2 > 4 .
\] Понятно, что, начиная с некоторого номера \( i_0 , \) последнее неравенство будет выполнятся для всех \( x_i , \) сколь малым не было бы значение \( \varepsilon . \) Значит, при \( \forall i > i_0 \) будет выполняться (37.4). Таким образом, последовательность \( \bigl\{ a_i \bigr\} \) определяет бесконечную подпоследовательность натуральных чисел \( n \), для которых имеет место неравенство (37.1).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)