Последние три цифры числа \( \frac {50!} {5^{10}} \)

Симпатичная, хотя и несложная задача предлагалась на Всеукраинской МО 2012-2013 г.

44. Найдите последние три цифры числа \(
\dfrac {50!} {5^{10}} .
\)

Решение. Согласно формуле Лежандра (см. раздел 6. в «А. и м.») \[
50! = 2^{47} \cdot 5^{12} \cdot n ,
\] где \(
n = 3^{22} \cdot 7^8 \cdot 11^4 \cdot 13^3 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot
23^2 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 .
\) Тогда \[
\dfrac {50!} {5^{10}} =
2^{47} \cdot 5^2 \cdot n =
10^2 \cdot 2^{45} \cdot n .
\] Таким образом, задача свелась к определению цифры, которая стоит в младшем разряде числа \(
2^{45} \cdot n .
\)
Воспользуемся следующим фактом: если известны цифры, стоящие в младших разрядах чисел \(
A = \overline { a_n \ldots a_1 a_0 }
\) и \(
B = \overline { b_m \ldots b_1 b_0 }
\), то младший разряд в произведении \( A \cdot B \) есть младший разряд в произведении \( a_0 \cdot b_0 . \) В более общем виде этот факт устанавливается в арифметике сравнений (сравнения по модулю натурального числа).
Например, \[
2^{45} = \left( 2^4 \right)^{11} \cdot 2 = 16^{11} \cdot 2
\equiv 2 \pmod{10} ,
\] \[
3^{22} = 9^{11} = 81^5 \cdot 9
\equiv 9 \pmod{10} ,
\] \[
17^2
\equiv 9 \pmod{10}
\ \mbox { и т.д.}
\] Небольшое замечание — произведения двух чисел с \( 9 \)-кой в младшем разряде можно (и нужно) отбрасывать, поскольку в этом произведении получается цифра \( 1 \) в младшем разряде.
В моих подсчетах выходит, что \(
n \equiv 9 \pmod {10} ,
\) то есть младший разряд числа \( k \) есть цифра \( 8 \).

Ответ: \( 800 . \)