«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

22 сентября 2015 г.

Последние три цифры числа \( \frac {50!} {5^{10}} \)

Симпатичная, хотя и несложная задача предлагалась на Всеукраинской МО 2012-2013 г.
44. Найдите последние три цифры числа \(
\dfrac {50!} {5^{10}} .
\)
Решение. Согласно формуле Лежандра (см. раздел 6. в «А. и м.») \[
50! = 2^{47} \cdot 5^{12} \cdot n ,
\] где \(
n = 3^{22} \cdot 7^8 \cdot 11^4 \cdot 13^3 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot
23^2 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 .
\) Тогда \[
\dfrac {50!} {5^{10}} =
2^{47} \cdot 5^2 \cdot n =
10^2 \cdot 2^{45} \cdot n .
\] Таким образом, задача свелась к определению цифры, которая стоит в младшем разряде числа \(
2^{45} \cdot n .
\)
Воспользуемся следующим фактом: если известны цифры, стоящие в младших разрядах чисел \(
A = \overline { a_n \ldots a_1 a_0 }
\) и \(
B = \overline { b_m \ldots b_1 b_0 }
\), то младший разряд в произведении \( A \cdot B \) есть младший разряд в произведении \( a_0 \cdot b_0 . \) В более общем виде этот факт устанавливается в арифметике сравнений (сравнения по модулю натурального числа).
Например, \[
2^{45} = \left( 2^4 \right)^{11} \cdot 2 = 16^{11} \cdot 2
\equiv 2 \pmod{10} ,
\] \[
3^{22} = 9^{11} = 81^5 \cdot 9
\equiv 9 \pmod{10} ,
\] \[
17^2
\equiv 9 \pmod{10}
\ \mbox { и т.д.}
\] Небольшое замечание — произведения двух чисел с \( 9 \)-кой в младшем разряде можно (и нужно) отбрасывать, поскольку в этом произведении получается цифра \( 1 \) в младшем разряде.
В моих подсчетах выходит, что \(
n \equiv 9 \pmod {10} ,
\) то есть младший разряд числа \( k \) есть цифра \( 8 \).

Ответ: \( 800 . \)


Автор: И.Л. на 13:49
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

Комментариев нет :

Отправить комментарий

Следующее Предыдущее Главная страница
Подписаться на: Комментарии к сообщению ( Atom )

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв 2017 ( 1 )
  • ноя 2016 ( 9 )
  • окт 2016 ( 11 )
  • сен 2016 ( 7 )
  • авг 2016 ( 8 )
  • июл 2016 ( 5 )
  • июн 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр 2016 ( 12 )
  • мар 2016 ( 5 )
  • янв 2016 ( 1 )
  • дек 2015 ( 11 )
  • ноя 2015 ( 11 )
  • окт 2015 ( 17 )
  • сен 2015 ( 13 )
  • авг 2015 ( 12 )
  • июл 2015 ( 14 )
  • июн 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.