\( f \left( \ant x \cdot y \right) = f(x) \cdot \ant { f(y) } \)

(*) Функциональные уравнения — редкость среди задач на антье и мантиссу. Решим одно такое уравнение, которое было предложено в качестве первой задачи на Международной МО в 2010 году.

33. (IMO/2010, P.Bornsztein) Определите все функции \( f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \) такие, что для любых \( x, \, y \in \mathbb R \) выполняется равенство \[
f \left( \ant x \cdot y \right) = f(x) \cdot \ant { f(y) } .
\tag {33.1}
\]

Решение. Пусть \( x = 0 . \) Тогда (после переобозначения) \[
f (0) = f (0) \cdot \ant {f(x)} .
\tag {33.2}
\] При \( y = 0 \) \[
f (0) = f (x) \cdot \ant {f(0)} .
\tag {33.3}
\] 1) Сначала рассмотрим случай \( f(0) \not= 0 . \)
Из условия (33.2) следует, что \( \ant {f(x)} = 1 , \) или \( 1 \leqslant f(x) < 2 . \) Из условия (33.3) следует, что \( f(x) \) — константа. Значит, в ответ пишем \[
f(x) = a ,
\ \mbox { где } a \in [ 1; \ 2 ) .
\] 2) Случай \( f (0) = 0 . \)
При \( x = 1 \) (после переобозначения) \[
f (x) = f (1) \cdot \ant {f(x)} .
\tag {33.4}
\] При \( y = 1 \) \[
f (\ant x) = f (x) \cdot \ant {f(1)} .
\tag {33.5}
\] 2а) Если \( f(1) = 0 , \) то из условия (33.4) следует \[
f(x) = 0 ,
\] эту функцию также пишем в ответ.
2б) Случай \( f(1) \not= 0 , \) \( f(0) = 0 \) противоречит условию задачи.
Из (33.4) следует \( \ant {f(1)} = 1 . \) Тогда из (33.5) следует \( f (\ant x) = f (x) , \) в частности, \( f \left( \frac 12 \right) = 0 . \) Противоречие имеет место при подстановке в исходное равенство \( x = 2 , \) \(y = \frac 12 . \) Левая часть (33.1) не равна нулю, в то время как правая часть \( 0 . \)
Ответ: \( f(x) = a , \) где \(  a = 0 \) и \( a \in [ 1; \ 2 ) . \)