«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

20 сентября 2015 г.

\( \ant { \frac {p^q+q^p} {pq} } \) — четное число, если \( p, \, q \not= 2 \)

(*) Есть задачи, которые решаются ... прямолинейно в два-три хода, в них нет ложного следа. Я называю такие задачи «задачами без интриги».
43. Пусть \( p \) и \( q \) — различные простые числа. Докажите, что если \(
p, \, q \not= 2 ,
\) то \[
\ant { \dfrac {p^q+q^p} {pq} }
\mbox { — четное число. }
\]
Доказательство. \[
\ant { \dfrac {p^q+q^p} {pq} } =
\ant { \dfrac {p^{q-1}}q + \dfrac {q^{p-1}}p} =
\] \[
= \ant { \dfrac {p^{q-1}-1}q +
\dfrac {q^{p-1}-1}p +
\dfrac1q+\dfrac1p } = \ldots
\] Согласно малой теореме Ферма каждая из дробей \(
\frac {p^{q-1}-1}q
\) и \(
\frac {q^{p-1}-1}p
\) — на­ту­раль­ное число. Сумма \(
\frac1q+\frac1p < 1 .
\) Значит, \[
\ldots =
\dfrac {p^{q-1}-1}q + \dfrac {q^{p-1}-1}p .
\] Поскольку \(
p, \, q \not= 2 ,
\) то \(
p, \, q
\) — нечетные, тогда в числителях обеих дробей стоят четные числа, а в знаменателях — нечетные числа, то есть имеем сумму двух четных чисел.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 00:56
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.