\( \ant { \frac {p^q+q^p} {pq} } \) — четное число, если \( p, \, q \not= 2 \)

(*) Есть задачи, которые решаются ... прямолинейно в два-три хода, в них нет ложного следа. Я называю такие задачи «задачами без интриги».

43. Пусть \( p \) и \( q \) — различные простые числа. Докажите, что если \(
p, \, q \not= 2 ,
\) то \[
\ant { \dfrac {p^q+q^p} {pq} }
\mbox { — четное число. }
\]

Доказательство. \[
\ant { \dfrac {p^q+q^p} {pq} } =
\ant { \dfrac {p^{q-1}}q + \dfrac {q^{p-1}}p} =
\] \[
= \ant { \dfrac {p^{q-1}-1}q +
\dfrac {q^{p-1}-1}p +
\dfrac1q+\dfrac1p } = \ldots
\] Согласно малой теореме Ферма каждая из дробей \(
\frac {p^{q-1}-1}q
\) и \(
\frac {q^{p-1}-1}p
\) — на­ту­раль­ное число. Сумма \(
\frac1q+\frac1p < 1 .
\) Значит, \[
\ldots =
\dfrac {p^{q-1}-1}q + \dfrac {q^{p-1}-1}p .
\] Поскольку \(
p, \, q \not= 2 ,
\) то \(
p, \, q
\) — нечетные, тогда в числителях обеих дробей стоят четные числа, а в знаменателях — нечетные числа, то есть имеем сумму двух четных чисел.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)