Бесконечное количество четных чисел \( \ant {\alpha n^2} \) при \( \alpha \in \mathbb R_{> 0} \)

Международная МО школьников «Туймаада» проводится в Якутии с 1994 года. По подбору задач и составу участников эта олимпиада занимает заметное место в ряду других известных неотборочных МО. Следующая задача предлагалась в 2010 году (4/4).

38. (А. Голованов) Докажите, что при любом вещественном \( \alpha > 0 \) число \( \ant {\alpha n^2} \) четно для бесконечного множества натуральных \( n . \)

Доказательство. 1) Если \( \alpha \in \mathbb N , \) то при четных \( n \) антье \( \ant {\alpha n^2} \) также четное.
2) Если \( \alpha \in \mathbb Q , \) то при \( n = 2kq , \) где \( k \in \mathbb N , \) \( q \) — знаменатель в пред­став­ле­нии \( \alpha = \frac pq \) \( (p, \, q \in \mathbb N ) , \) антье \( \ant {\alpha n^2} = 4 k^2 p q \) — четное число.
3) Случай, когда \( \alpha \) — ир­ра­цио­наль­ное число, более интересный.
В «А. и м.» имеются похожие задачи, см. 27, 28, 135, 361, 366. Рекомендуем ознакомиться с идеями решений указанных задач.
Пусть \( 0 < \alpha < 1 . \) Представим \( \alpha \) в системе счисления по основанию \( 4 \) \[
\alpha = \left(
\overline { 0, a_1 a_2 \ldots a_j \ldots }
\right)_4 ,
\ \mbox { где } a_j \in \{ 0, \, 1, \, 2, \, 3 \} ,
\ (j \in \mathbb N) .
\tag {38.1}
\] Заметим, что дробь (38.1) является непериодической, поскольку \( \alpha \) — иррациональное число. Поэтому же среди \( a_j \) должны встречаться бес­ко­неч­ное количество раз не менее двух цифр \( 0 , \) \( 1 , \) \( 2 \) или \( 3 . \)
3.1) Если в представлении (38.1) имеется бесконечное количество четных цифр (\( 0 \) или \( 2 \)), то составим числовую последовательность \(
\bigl\{ m_i \bigr\}_{i=1}^\infty ,
\) в которой \( m_i \) — номера разрядов, на которых располагаются эти цифры. Тогда при \( n = 2^{m_i} \) все антье \(
\ant {\alpha n^2} = \ant {\alpha 4^k}
\) будут четными числами.
Напомним, что умножение на \( 4 \) числа, представленного в системе счисления по основанию \( 4 \), есть перемещение дробной запятой на один разряд вправо.
3.2) Если в представлении \( \alpha \) конечное количество цифр \( 0 \) и \( 2 , \) то в представлении (38.1) имеется бесконечное количество нечетных цифр (\( 1 \) или \( 3 \)), причем пара соседних цифр \( 31 \) также встречается бесконечное количество раз.
Составим числовую последовательность \(
\bigl\{ m_i \bigr\}_{i=1}^\infty ,
\) в которой \( m_i \) — номер разряда цифры \( 3 \) в парах соседних цифр \( 31 , \) причем перед \( 31 \) должна размещаться нечетная цифра, то есть имеющиеся четные цифры стоят слева. Утверждается, что при \( n = 3 \cdot 2^{m_i-1} \) все антье \( \ant {\alpha n^2} \) будут четными числами. Докажем это. Пусть \(
a_{m_i} = 3 , \) \( a_{m_{i+1}} = 1 . \) \[
\begin{multline*}
\alpha n^2 =
\alpha (3 \cdot 2^{m_i-1})^2 =
\alpha \cdot 9 \cdot 4^{m_i-1} =
\\
= \left(
\overline { 0, a_1 a_2 \ldots 31 \ldots }
\right)_4 \cdot 4^{m_i-1} \cdot 9 =
\\
= \left(
\overline { A, 31 \ldots }
\right)_4 \cdot 9 =
9A + 9 \beta ,
\end{multline*}
\] где \( A \) — нечетное число, поскольку слева от пары соседних цифр \( 31 \) располагается нечетная цифра, \(
\beta = \left(
\overline { 0, 31 \ldots }
\right)_4 .
\) Найдем \( \ant {9 \beta} . \) \[
\left(
\overline { 0, 31 }
\right)_4 < \beta < \left(
\overline { 0, 32 }
\right)_4 ,
\] \[
\dfrac {13} {16} < \beta < \dfrac {14} {16} ,
\] \[
\dfrac {9 \cdot 13} {16} < 9 \beta < \dfrac {9 \cdot 14} {16} ,
\] \[
\ant {9 \beta} = 7 .
\] Заключительный шаг: \(
\ant {\alpha n^2} = 9A + \ant {9 \beta}
\ \mbox { — четное число. }
\)
Вспомним, что все рассуждения делались при допущении \(
0 < \alpha < 1 . \) Не­труд­но видеть, и при \( \alpha > 1 \) антье \( \ant {\alpha n^2} \) также будет четным.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)