Бесконечное количество четных чиселв последовательности \( \ant {\alpha n} , \) где \( \alpha \in \mathbb R_{>0} \)

Задачи на доказательство наличия бесконечного количества четных (не­чет­ных, составных) чисел в некоторой числовой последовательности можно отнести к типовым олимпиадным заданиям. Предложу одну из возможных общих формулировок для задач данного вида.

34. Докажите, что в числовой последовательности \( \left\{ a_n \right\} , \) \( n \)-ый член которой определяется формулой \[ a_n = \ant { \alpha n} , \ \mbox { где } \alpha \in \mathbb R_{>0} , \] бесконечно много четных чисел.

Доказательство. 1) Если \( \alpha \in \mathbb Z , \) то подпоследовательность \( \left\{ a_{2n} \right\} \) будет состоять только из четных чисел.
2) Если \( \alpha \in \mathbb Q \setminus \mathbb  Z , \) то четными будут элементы \( \left\{ a_n \right\} \) с индексами \( n = 2kq , \) где \( k \in \mathbb N , \) \( q \) — знаменатель из представления \( \alpha \) в виде обыкновенной дроби.
3) Пусть \( \alpha \) — иррациональное число. Запишем \( \alpha \) в двоичном пред­став­ле­нии \[
\alpha = \left(
\overline { B, b_1 b_2 \ldots b_k \ldots }
\right)_2 ,
\ \mbox { где }
B = \bigl( \ant \alpha \bigr)_2 ,
\ b_k \in \{ 0; \ 1 \} .
\] Поскольку среди \( b_k \) бесконечно много нулей, выберем из по­сле­до­ва­тель­но­сти \( \left\{ a_n \right\} \) элементы с индексами \( n = 2^k . \) Тогда \[
a_{2^k} = \left(
\overline { B b_1 b_2 \ldots b_k }
\right)_2
\] (умножение записанного в двоичной системе счисления числа на \( 2 \) — это перемещение двоичной запятой на одну позицию вправо).
В подпоследовательности \( \left\{ a_{2^k} \right\} \) бесконечно много чисел с \( 0 \) в младшем разряде, то есть бесконечно много четных чисел.

\( \color{gray}{\blacksquare} \)

Примечание. Можно ли утверждать, что в последовательности \( \left\{ a_n \right\} \) бесконечно много нечетных чисел?
См. также задачи 27, 28, 135 и 361 в задачнике «А. и м.».