«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

16 августа 2015 г.

Условие равносильности $[f(x)]=[g(x)]$ и $\{f(x)\}\geqslant\{g(x)\}$

Поскольку любое действительное число \( x \) представляется единственным способом в виде суммы антье и мантиссы
\[ x = \ant x + \mant x , \]
может создаться впечатление, что переход от антье к мантиссе (и обратно) — очевидный прием. Во многих случаях так дело и обстоит. Однако в математике очевидное не всегда является очевидным. На днях, решая одну из задач, удалось вывести несложное, но любопытное утверждение. Но сначала рассмотрим следующую задачу.
20. Докажите равносильность неравенства \[
\bigmant {\sqrt x} \geqslant \bigmant {\sqrt {x-1}}
\tag {20.1}
\] и уравнения \[
\bigant {\sqrt x} = \bigant {\sqrt {x-1}} .
\tag {20.2}
\]
Доказательство. При \( x = 1 \) (20.1) и (20.2) выполняются, значит, равносильны. Пусть далее \( x > 1 . \) \[
\mbox {(20.1)} \ \Longleftrightarrow
\ \sqrt x - \bigant {\sqrt x} \geqslant  \sqrt {x-1} - \bigant {\sqrt {x-1}}
\ \Longleftrightarrow
\] \[
\Longleftrightarrow
\ \sqrt x - \sqrt {x-1} + \bigant {\sqrt {x-1}} \geqslant \bigant {\sqrt x}
\ \Longleftrightarrow \ \ldots
\] Имеем \(
\bigant {\sqrt x} \leqslant \bigant {\sqrt {x-1}} + \alpha ,
\ \mbox { где } 0 < \alpha < 1 .
\) Согласно неубываемости функции антье \(
\bigant {\sqrt x} \geqslant \bigant {\sqrt {x-1}} .
\) Тогда \[
\ldots \ \Longleftrightarrow
\ \bigant {\sqrt x} = \bigant {\sqrt {x-1}} .
\] То есть \(
\mbox {(20.1)} \ \Longleftrightarrow \ \mbox {(20.2)} .
\)
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
А теперь перейдем к обещанному любопытному утверждению. Обобщим условие задачи 20.
21. Пусть на множестве \( M \) определены функции \( f(x) \) и \( g(x) , \) а также выполняется условие \( 0 \leqslant f(x) - g(x) < 1 . \) Тогда при \( x \in M \) уравнение \(
\bigant {f(x)} = \bigant {g(x)}
\) и неравенство \(
\bigmant {f(x)} \geqslant \bigmant {g(x)}
\) равносильны.
Не будем приводить доказательство, оно аналогично рассуждениям из задачи.


Автор: И.Л. на 13:41
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.