Условие равносильности $[f(x)]=[g(x)]$ и $\{f(x)\}\geqslant\{g(x)\}$

Поскольку любое действительное число \( x \) представляется единственным способом в виде суммы антье и мантиссы

\[ x = \ant x + \mant x , \]

может создаться впечатление, что переход от антье к мантиссе (и обратно) — очевидный прием. Во многих случаях так дело и обстоит. Однако в математике очевидное не всегда является очевидным. На днях, решая одну из задач, удалось вывести несложное, но любопытное утверждение. Но сначала рассмотрим следующую задачу.

20. Докажите равносильность неравенства \[
\bigmant {\sqrt x} \geqslant \bigmant {\sqrt {x-1}}
\tag {20.1}
\] и уравнения \[
\bigant {\sqrt x} = \bigant {\sqrt {x-1}} .
\tag {20.2}
\]

Доказательство. При \( x = 1 \) (20.1) и (20.2) выполняются, значит, равносильны. Пусть далее \( x > 1 . \) \[
\mbox {(20.1)} \ \Longleftrightarrow
\ \sqrt x - \bigant {\sqrt x} \geqslant  \sqrt {x-1} - \bigant {\sqrt {x-1}}
\ \Longleftrightarrow
\] \[
\Longleftrightarrow
\ \sqrt x - \sqrt {x-1} + \bigant {\sqrt {x-1}} \geqslant \bigant {\sqrt x}
\ \Longleftrightarrow \ \ldots
\] Имеем \(
\bigant {\sqrt x} \leqslant \bigant {\sqrt {x-1}} + \alpha ,
\ \mbox { где } 0 < \alpha < 1 .
\) Согласно неубываемости функции антье \(
\bigant {\sqrt x} \geqslant \bigant {\sqrt {x-1}} .
\) Тогда \[
\ldots \ \Longleftrightarrow
\ \bigant {\sqrt x} = \bigant {\sqrt {x-1}} .
\] То есть \(
\mbox {(20.1)} \ \Longleftrightarrow \ \mbox {(20.2)} .
\)
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
А теперь перейдем к обещанному любопытному утверждению. Обобщим условие задачи 20.

21. Пусть на множестве \( M \) определены функции \( f(x) \) и \( g(x) , \) а также выполняется условие \( 0 \leqslant f(x) - g(x) < 1 . \) Тогда при \( x \in M \) уравнение \(
\bigant {f(x)} = \bigant {g(x)}
\) и неравенство \(
\bigmant {f(x)} \geqslant \bigmant {g(x)}
\) равносильны.

Не будем приводить доказательство, оно аналогично рассуждениям из задачи.