В 2011 году 9-му классу в первом туре Санкт-Петербургской олимпиады была предложена следующая задача, 4-ая из 5 (автор — А. Храбров).
0 \leqslant \ant y \cdot \ant x < 7 .
\] Если \( \ant x = 2 , \) то \( \ant y = 2 . \) Тогда \[
x^{\ant x} + y^{\ant y} =
x^2 + y^2 \geqslant 2xy = 14 .
\] Если же \( \ant x \geqslant 3 , \) то \( 0 \leqslant \ant y \leqslant 2 . \) В этом случае \[
x^{\ant x} + y^{\ant y} \geqslant \ant x ^{\ant x} \geqslant 3^3 > 14 .
\]
28. Произведение положительных чисел \( x \) и \( y \) равно 7. Докажите неравенство \[
x^{\ant x} + y^{\ant y} \geqslant 14 .
\tag {28.1}
\]
Доказательство. Для определенности будет считать, что \( 0 < y \leqslant x . \) По условию задачи \( xy = 7 , \) значит, \[x^{\ant x} + y^{\ant y} \geqslant 14 .
\tag {28.1}
\]
0 \leqslant \ant y \cdot \ant x < 7 .
\] Если \( \ant x = 2 , \) то \( \ant y = 2 . \) Тогда \[
x^{\ant x} + y^{\ant y} =
x^2 + y^2 \geqslant 2xy = 14 .
\] Если же \( \ant x \geqslant 3 , \) то \( 0 \leqslant \ant y \leqslant 2 . \) В этом случае \[
x^{\ant x} + y^{\ant y} \geqslant \ant x ^{\ant x} \geqslant 3^3 > 14 .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
Задача из второго варианта.
29. Произведение положительных чисел \( x \) и \( y \) равно 8. Докажите неравенство \[
x^{\ant x} + y^{\ant y} \geqslant 16 .
\]
x^{\ant x} + y^{\ant y} \geqslant 16 .
\]
