«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

27 августа 2015 г.

\( x^{\ant x} + y^{\ant y} \geqslant 14 \)

В 2011 году 9-му классу в первом туре Санкт-Петербургской олимпиады была предложена следующая задача, 4-ая  из 5 (автор — А. Храбров).
28. Произведение положительных чисел \( x \) и \( y \) равно 7. Докажите неравенство \[
x^{\ant x} +  y^{\ant y} \geqslant 14 .
\tag {28.1}
\]
Доказательство. Для определенности будет считать, что \( 0 < y \leqslant x . \) По условию задачи \( xy = 7 , \) значит, \[
0 \leqslant \ant y \cdot \ant x < 7 .
\] Если \( \ant x = 2 , \) то \( \ant y = 2 . \) Тогда \[
x^{\ant x} + y^{\ant y} =
x^2 + y^2 \geqslant 2xy = 14 .
\] Если же \( \ant x \geqslant 3 , \) то \( 0 \leqslant \ant y \leqslant 2 . \) В этом случае \[
x^{\ant x} + y^{\ant y} \geqslant \ant x ^{\ant x} \geqslant 3^3 > 14 .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
Задача из второго варианта.
29. Произведение положительных чисел \( x \) и \( y \) равно 8. Докажите неравенство \[
x^{\ant x} +  y^{\ant y} \geqslant 16 .
\]


Автор: И.Л. на 13:54
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.