«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

30 августа 2015 г.

\( x + \ant x + x^2 + \ant {x^2} = x^3 + \ant {x^3} \)

Недавно в форуме http://artofproblemsolving.com было приведено уравнение, решение которого удалось «оптимизировать» и уточнить, используя свойства а. и м.
32. Решите уравнение \[
x + \ant x + x^2 + \ant {x^2} = x^3 + \ant {x^3} .
\tag {32.1}
\]
Решение. Отметим, что значение выражения \(
x^3 - x^2 - x
\) является целым числом, поскольку \[
x^3 - x^2 - x = \ant x + \ant {x^2} - \ant {x^3} .
\tag {32.2}
\] Перейдем от антье к мантиссам. \[
2 (x^3 - x^2 - x) = \mant {x^3} - \mant x - \mant {x^2} ,
\] \[
x^3 - x^2 - x = \dfrac {\bigmant {x^3} - \bigmant x - \bigmant {x^2}} 2 .
\] Любая мантисса всегда неотрицательная и меньше \( 1 , \) значит, \[
-1 < \dfrac {\bigmant {x^3} - \bigmant x - \bigmant {x^2}} 2 < \dfrac 12 .
\] Значит, \[
x^3 - x^2 - x = 0 .
\tag {32.3}
\] Из рассуждений не следует, что уравнение (32.3) является равносильным исходному уравнению. Поэтому требуется проверка решений уравнения (32.3): \[
x_1 = 0, \ x_2 = \dfrac {1 - \sqrt5}2 , \ x_3 = \dfrac {1 + \sqrt5}2 .
\] Удобнее это сделать подстановкой в (32.2). Заметим, \( -1 < x_2 < 0 , \) а \( x_3 = \phi \) — «золотое сечение» (число Фидия), \( \phi^2 = \phi + 1 ,\) \( \phi^3 = 2\phi + 1 . \)

Ответ: \(
0, \ \dfrac {1 \pm \sqrt5}2 .
\)


Автор: И.Л. на 11:54
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.