\( x + \ant x + x^2 + \ant {x^2} = x^3 + \ant {x^3} \)

Недавно в форуме http://artofproblemsolving.com было приведено уравнение, решение которого удалось «оптимизировать» и уточнить, используя свойства а. и м.

32. Решите уравнение \[
x + \ant x + x^2 + \ant {x^2} = x^3 + \ant {x^3} .
\tag {32.1}
\]

Решение. Отметим, что значение выражения \(
x^3 - x^2 - x
\) является целым числом, поскольку \[
x^3 - x^2 - x = \ant x + \ant {x^2} - \ant {x^3} .
\tag {32.2}
\] Перейдем от антье к мантиссам. \[
2 (x^3 - x^2 - x) = \mant {x^3} - \mant x - \mant {x^2} ,
\] \[
x^3 - x^2 - x = \dfrac {\bigmant {x^3} - \bigmant x - \bigmant {x^2}} 2 .
\] Любая мантисса всегда неотрицательная и меньше \( 1 , \) значит, \[
-1 < \dfrac {\bigmant {x^3} - \bigmant x - \bigmant {x^2}} 2 < \dfrac 12 .
\] Значит, \[
x^3 - x^2 - x = 0 .
\tag {32.3}
\] Из рассуждений не следует, что уравнение (32.3) является равносильным исходному уравнению. Поэтому требуется проверка решений уравнения (32.3): \[
x_1 = 0, \ x_2 = \dfrac {1 - \sqrt5}2 , \ x_3 = \dfrac {1 + \sqrt5}2 .
\] Удобнее это сделать подстановкой в (32.2). Заметим, \( -1 < x_2 < 0 , \) а \( x_3 = \phi \) — «золотое сечение» (число Фидия), \( \phi^2 = \phi + 1 ,\) \( \phi^3 = 2\phi + 1 . \)

Ответ: \(
0, \ \dfrac {1 \pm \sqrt5}2 .
\)