Уравнение в натуральных числах \( [na]=b^m , \) где \( a \in \mathbb R , \) \( b \in \mathbb N_{\geqslant 2} \)

Последовательность вида \( \ant {an} , \) где \( a \in \mathbb R , \) однозначно определяется чис­лом \( a \) (и наоборот), поэтому называется спектром действительного числа, другое название — последовательность Битти, подробнее см. раздел 22 задачника «А. и м.»
Задачи на эти последовательности почти всегда неординарные, например, задача с олимпиады The USA Mathematical Talent Search (USAMTS) 2008-2009.

18. Пусть \( b \in \mathbb N_{\geqslant 2} \) и \( a \in \mathbb R \) такие, что выполняется условие \(
\dfrac 1a + \dfrac 1b > 1 .
\) Докажите, что числовая последовательность \[
\ant {a} , \ \ant {2a}, \ \ant {3a}, \ \ldots
\] содержит бесконечное количество членов вида \(
b^m \ (m \in \mathbb N) .
\)

Решение см. http://www.usamts.org/Solutions/Solutions_20_3.pdf (на англ.).