\( \bigant a \cdot \bigant {a^2} = \bigant {a^3} \)

В 2005 году в 1-ом туре Санкт-Петербургской олимпиады для 8-го класса предлагалась довольно заковыристая задача, 4-ая из 5 (автор — А. Го­ло­ва­нов).

24. Дано число \( a > 30 . \) Известно, что \[
\bigant a \cdot \bigant {a^2} = \bigant {a^3} .
\] Докажите, что \(
\mant a \leqslant \dfrac 1 {2700}.
\)

Решим задачу в общем виде (такая формулировка пригодится в следующем сообщении).

25. Пусть для всех \(
a \in \mathbb R_{\geqslant 3}
\) выполняется равенство \[
\bigant a \cdot \bigant {a^2} = \bigant {a^3} .
\tag {25.1}
\] Докажите, что тогда имеет место неравенство  \(
\mant a < \dfrac 1 {3 \ant {a^2}}.
\)

Доказательство. Согласно свойствам антье (С13) и (С8) для любых \(
a \in \mathbb R_{\geqslant 0}
\) выполняются неравенства: \[
\bigant {a^2} \cdot \bigant a \leqslant
\ant { \ant {a^2} \cdot a} \leqslant
\ant {a^2 \cdot a} ,
\] которые в соответствии с условием (25.1) становятся равенствами. Тогда согласно (С16) \[
\bigant a \cdot \bigant {a^2} =
\ant { a \cdot \ant {a^2}}
\quad \Longleftrightarrow \quad
\mant a \cdot \ant {a^2} < 1 .
\] Итак, имеем неравенства: \[
\mant a < \dfrac 1 {\ant {a^2}} < \dfrac 1 {\ant a ^2}
\ \mbox { при } a \geqslant 1 .
\tag {25.2}
\] Чтобы усилить левое неравенство, воспользуемся правой оценкой для \( \mant a \) при доказательстве равенства \[
\ant {a^2} = \ant a^2 .
\tag {25.3}
\] Для этого достаточно доказать двойное неравенство \(
\ant a^2 \leqslant a^2 < \ant a^2 + 1 .
\) Левое условие очевидно. Правое условие «почти» очевидно: \[
a^2 = \ant a ^2 + \mant a \cdot \bigl( 2 \ant a + \mant a \bigr) <
\] \[
< \ant a ^2 + \dfrac {2 \ant a + \mant a} {\ant a ^ 2} <
\ant a ^2 + \dfrac 2 {\ant a} + \dfrac 1 {\ant a ^4} <
\] \[
< \ant a ^2 + 1
\ \mbox { при } a \geqslant 3 .
\] Из равенства (25.3) следует \(
\bigant a ^3 = \bigant {a^3} ,
\) или \(
\bigant {a^3 - \ant a^3} = 0 .
\) Переходим к неравенству \[
a^3 - \ant a^3 < 1 ,
\] \[
\mant a \bigl( a^2 + a \ant a + \ant a ^2 \bigr) < 1 ,
\] \[
\mant a < \dfrac 1 { a^2 + a \ant a + \ant a ^2} <
\dfrac 1 {3 \ant a ^2} =
\dfrac 1 {3 \ant {a^2}} .
\]

\( \color{gray}{\blacksquare} \)