«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

26 августа 2015 г.

\( \bigant {a-2} \cdot \bigant {a^2+2a+4} = \bigant {a^3-8} \)

(Данное сообщение является продолжением предыдущего поста.)
В том же 2005 году на Санкт-Петербургской олимпиаде 10-му классу в 1-ом туре была предложена следующая задача (автор — А. Голованов).
26. Вещественное число \( a > 2 \) таково, что \[
\bigant {a-2} \cdot \bigant {a^2+2a+4} = \bigant {a^3-8} .
\] Докажите, что \(
3 \mant a \ant a ^2 < 1.
\)
Комментарий. Сравните задачи 25 и 26. О-о-очень похожи. Неудивительно, что идея решения та же. Думается, что в доказательстве достаточно будет привести только схему рассуждений.
Доказательство.
1) \(
\mant a < \dfrac 1 {\ant a ^2 + 2 \ant a + 4} ;
\)

2) \(
\ant {a^2+2a+4} = \ant a ^2 + 2 \ant a + 4 ;
\)

3) \(
\ant a ^3 - 8 = \ant {a^3-8} .
\)
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
Задача из второго варианта.
27. Вещественное число \( a > 1 \) таково, что \[
\bigant {a-1} \cdot \bigant {a^2+a+2} = \bigant {a^3-1} .
\] Докажите, что \(
3 \mant a \ant a ^2 < 1. \)


Автор: И.Л. на 21:13
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.