(Данное сообщение является продолжением предыдущего поста.)
В том же 2005 году на Санкт-Петербургской олимпиаде 10-му классу в 1-ом туре была предложена следующая задача (автор — А. Голованов).
Доказательство.
1) \(
\mant a < \dfrac 1 {\ant a ^2 + 2 \ant a + 4} ;
\)
2) \(
\ant {a^2+2a+4} = \ant a ^2 + 2 \ant a + 4 ;
\)
3) \(
\ant a ^3 - 8 = \ant {a^3-8} .
\)
В том же 2005 году на Санкт-Петербургской олимпиаде 10-му классу в 1-ом туре была предложена следующая задача (автор — А. Голованов).
26. Вещественное число \( a > 2 \) таково, что \[
\bigant {a-2} \cdot \bigant {a^2+2a+4} = \bigant {a^3-8} .
\] Докажите, что \(
3 \mant a \ant a ^2 < 1.
\)
Комментарий. Сравните задачи 25 и 26. О-о-очень похожи. Неудивительно, что идея решения та же. Думается, что в доказательстве достаточно будет привести только схему рассуждений.\bigant {a-2} \cdot \bigant {a^2+2a+4} = \bigant {a^3-8} .
\] Докажите, что \(
3 \mant a \ant a ^2 < 1.
\)
Доказательство.
1) \(
\mant a < \dfrac 1 {\ant a ^2 + 2 \ant a + 4} ;
\)
2) \(
\ant {a^2+2a+4} = \ant a ^2 + 2 \ant a + 4 ;
\)
3) \(
\ant a ^3 - 8 = \ant {a^3-8} .
\)
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
Задача из второго варианта.
27. Вещественное число \( a > 1 \) таково, что \[
\bigant {a-1} \cdot \bigant {a^2+a+2} = \bigant {a^3-1} .
\] Докажите, что \(
3 \mant a \ant a ^2 < 1. \)
\bigant {a-1} \cdot \bigant {a^2+a+2} = \bigant {a^3-1} .
\] Докажите, что \(
3 \mant a \ant a ^2 < 1. \)
