(*) Предлагаю вам «принять участие» в математической олимпиаде Samanyolu International Mathematics Competition (SIMC/1996), г. Анкара (Турция).
n^2 = 2 \cdot \dfrac {n(n+1)} 2 - n = 2 \cdot (1 + 2 + \ldots + n ) - n ,
\] то \[
\bigant y + \bigant {2y} + \ldots + \bigant {ny} = -n ,
\ \mbox { где } y = x-2 .
\tag {22.2}
\]
Слагаемые-антье в (22.2) либо все отрицательные, либо все неотрицательные. К тому же, функция антье неубывающая. Следовательно, каждое из слагаемых-антье равно \( -1 . \) Тогда (22.2) равносильно простейшему уравнению \[
\bigant {ny} = -1 ,
\] \[
-1 \leqslant ny < 0,
\ -\dfrac 1n \leqslant y < 0 .
\] Ответ: \(
\ 2-\dfrac 1n \leqslant x < 2 ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\)
22. Решите уравнение \[
\ant x + \ant {2x} + \ldots + \ant {nx} = n^2 ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\tag {22.1}
\]
Решение. Поскольку \[\ant x + \ant {2x} + \ldots + \ant {nx} = n^2 ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\tag {22.1}
\]
n^2 = 2 \cdot \dfrac {n(n+1)} 2 - n = 2 \cdot (1 + 2 + \ldots + n ) - n ,
\] то \[
\bigant y + \bigant {2y} + \ldots + \bigant {ny} = -n ,
\ \mbox { где } y = x-2 .
\tag {22.2}
\]
Слагаемые-антье в (22.2) либо все отрицательные, либо все неотрицательные. К тому же, функция антье неубывающая. Следовательно, каждое из слагаемых-антье равно \( -1 . \) Тогда (22.2) равносильно простейшему уравнению \[
\bigant {ny} = -1 ,
\] \[
-1 \leqslant ny < 0,
\ -\dfrac 1n \leqslant y < 0 .
\] Ответ: \(
\ 2-\dfrac 1n \leqslant x < 2 ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\)
