«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

19 августа 2015 г.

\( \ant x + \ant {2x} + \ldots + \ant {nx} = n^2 \)

(*) Предлагаю вам «принять участие» в математической олимпиаде Samanyolu International Mathematics Competition (SIMC/1996), г. Анкара (Турция).
22. Решите уравнение \[
\ant x + \ant {2x} + \ldots + \ant {nx} = n^2 ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\tag {22.1}
\]
Решение. Поскольку \[
n^2 = 2 \cdot \dfrac {n(n+1)} 2 - n = 2 \cdot (1 + 2 + \ldots + n ) - n ,
\] то \[
\bigant y + \bigant {2y} + \ldots + \bigant {ny} = -n ,
\ \mbox { где } y = x-2 .
\tag {22.2}
\]
Слагаемые-антье в (22.2) либо все отрицательные, либо все неотрицательные. К тому же, функция антье неубывающая. Следовательно, каждое из слагаемых-антье равно \( -1 . \) Тогда (22.2) равносильно простейшему уравнению \[
\bigant {ny} = -1 ,
\] \[
-1 \leqslant ny < 0,
\ -\dfrac 1n \leqslant y < 0 .
\] Ответ: \(
\ 2-\dfrac 1n \leqslant x < 2 ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\)


Автор: И.Л. на 19:23
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.