Во многом аналогичное задачам из предыдущего сообщения неравенство с Московской областной олимпиады 2002/2003, 8-ой класс (автор — А. Храбров).
0 < z \leqslant y \leqslant x .
\] По условию \( x + y + z = 11 . \) Значит, \( 3 \leqslant x < 11 , \) или \( 3 \leqslant \ant x < 11 . \)
При \( \ant x = 4, \, 5, \, \ldots , 10 \) неравенство (30.1) выполняется вне зависимости от значений \( y \) и \( z . \)
При \( \ant x = 3 \) значения \( \ant y \) и \( \ant z \) также равны \( 3 . \) В этом случае \[
\ant x ^4 + \ant y ^4 + \ant z ^4 =
3^4 + 3^4 + 3^4 = 243 .
\]
30. Сумма положительных чисел \( x , \) \( y \) и \( z \) равна \( 11 . \) Докажите неравенство \[
\ant x ^4 + \ant y ^4 + \ant z ^4 \geqslant 243 .
\tag {30.1}
\]
Доказательство. Для определенности будем считать, что \[\ant x ^4 + \ant y ^4 + \ant z ^4 \geqslant 243 .
\tag {30.1}
\]
0 < z \leqslant y \leqslant x .
\] По условию \( x + y + z = 11 . \) Значит, \( 3 \leqslant x < 11 , \) или \( 3 \leqslant \ant x < 11 . \)
При \( \ant x = 4, \, 5, \, \ldots , 10 \) неравенство (30.1) выполняется вне зависимости от значений \( y \) и \( z . \)
При \( \ant x = 3 \) значения \( \ant y \) и \( \ant z \) также равны \( 3 . \) В этом случае \[
\ant x ^4 + \ant y ^4 + \ant z ^4 =
3^4 + 3^4 + 3^4 = 243 .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
